文档介绍：第二类曲面积分计算方法
赵海林 张纬纬
摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积
分区间对称性，向量计算形式和利用两类曲面积分之间联络等方法进行求解.
关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes公式 向量计算形
式
1 引言
曲面积分是多元函数积分学关键组成部分，在曲面积分计算中，综合利用着一元积分和重积分计算思绪、方法和技巧，在第二型曲面积分学****过程中，必需在了解概念和性质同时，，计算方法灵活多变，而且包含数学知识面广，掌握起来有一定难度，而且是数学分析学****中难点,很多学生在求解这一类题型时感到相当困难，所以本文给出了第二型曲面积分计算多个方法，并举例说明了这多个方法应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能深入了解第一型曲面积分和第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分和重积分之间亲密联络，让多种计算方法愈加直观展现在读者面前，表现了第二型曲面积分计算方法应用.
2 预备知识
2．1第二型曲面积分概念
流量问题(物理背景)
设稳定流动不可压缩流体（假定密度为）速度为
,
∑是一光滑有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧流量.
若为平面上面积为区域，而流速是常向量，指定侧单位法向量
则
若为曲面，流速不是常向量，则用下面方法计算流量.
(1) 分割
将任意分成小块同时代表其面积.
(2) 近似
，以点处流速和单位法向量分别替换上其它各点处流速和单位法向量，得到流过指定侧流量近似值：
(3) 求和
(4) 取极限
定义
.
若存在，
或
.
2．2 第二型曲面积分性质
性质1 (方向性)
为和取相反侧曲面，则在上第二型曲面积分也存在，.
性质2 （线性性） 若 存在，则有
=，
其中是常数.
性质3 (曲面可加性) 若曲面是由两两无公共内点曲面块所组成，且
存在，则有
第二型曲面积分数量表示式
记，称为曲面
从而
.
即，是在面上投影；是在面上投影；在在面上投影. 她们取值可正、可负、，取符号.
特殊形式：
称为对坐标曲面积分；
称为对坐标曲面积分；
称为对坐标曲面积分.
介绍两类曲面积分之间联络
和曲线积分一样，当曲面侧确定以后，，并以上侧为正侧，为上连续函数，
(1)
由曲面面积公式，其中是曲面法线方向和轴正向交角，，所以是锐角 .又由是光滑，，在内必存在一点，使这点法线方向和轴正向夹角满足等式或.
于是. 个部分相加后得
(2)
现在以表示曲面在点 法线方向和轴正向夹角余弦，则由连续性，可推适当初，
(3)
这里注意当改变曲面侧向时，左边积分改变符号，，所以右边积分也对应改变了符号.
同理可证：
(4)