文档介绍：例题15-1 一物体沿x轴作简谐振动,振幅A=,周期T==0时,物体的位移x=,且向x轴正方向运动。求:(1)此简谐振动的表式;(2)T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从-,第一次回到平衡位置所需的时间。
解(1)设这一简谐振动的表式为
现在A=,T=2s,
由初始条件:t=0时, 可得
根据初始条件
因为t=0时,物体向x轴正方向运动,即
所以
这样,此简谐振动的表式为
利用旋转矢量法求解是很方便的。根据初始条件就可画出振幅矢量的初始位置,如图所示,从而得
(2)由(1)中简谐振动的表式得
时,从上列各式求得
当物体第一次回到平衡位置,设该时刻为 t⒉,由于物体向x轴正向运动,所以此物体在平衡位置处的相位为
(3)当x=-,设该时刻为,得
因为物体向x轴负向运动, ,所以不取,求得
求得
则由
由振幅矢量图可知,从x=- 轴负方向运动,第一次回到平衡位置时,振幅矢量转过的角度为,这就是两者的相位差,由于振幅矢量角速度为,所以可得到所需的时间
O
所以,从x=-
船舶在竖直方向的振动
例题15-2 一质量为m的平底船,其平均水平截面积为S,吃水深度为h,如不计水的阻力,求此船在竖直方向的震动周期。设水的密度为。
解此船静浮时,所受的浮力和重力平衡
y
P
P
y
O
当船在任一位置时,以水平处为坐标原点,取竖直向下的坐标轴为y轴,如图所示,船的位置可用静浮时的水线P对水面的位移y来描述,此时船所受力的合力
因为力f的大小与位移y成正比,方向相反,所以船在竖直方向作简谐振动,其角频率及周期分别为。
将m代入得
U形管中液体的振动
例题15-3 在横截面为S的U形管中有适量液体,液体总长度为l,质量为m,密度为,求液面上下起伏的振动频率(忽略液体与管壁间的摩檫)。
选如图所示的坐标,并选两液面相齐时的平衡位置为坐标原点,且取平衡时液体势能为零。设在时刻t左边液面的位移为y,此时右边液面下降了高度y,这时
解由于这里液体不宜简化为一质点,而液体受到初始扰动后,振动过程中没有机械能损失,因此我们用能量方法来分析。
y
y
O
y
将上式对时间t 求导,并整理后可得
系统的势能可以认为把右边降下的那段液体提升到左边增加的势能。这段液体的质量为,提升的高度为y,所以此时系统的势能为
由于液体的“不可压缩性,因此整个液体的动能
左面液面的速度为
由能量守恒得
而,所以