文档介绍：第四节
一、立体体积
二、曲面的面积
重积分的应用
1.
能用重积分解决的实际问题的特点
所求量是
对区域具有可加性
?
从定积分定义出发
建立积分式
?
用微元分析法
(
元素法
)
分布在有界闭域上的整体量
3.
解题要点
画出积分域、选择坐标系、确定积分序、
定出积分限、计算要简便
2.
用重积分解决问题的方法
一、立体体积
?
曲顶柱体
的顶为连续曲面
则其体积为
??
?
D
y
x
y
x
f
V
d
d
)
,
(
?
占有
空间有界域
?
的立体的体积为
???
?
?
z
y
x
V
d
d
d
任一点的切平面与曲面
所围立体的体积
V
.
解
:
曲面
1
S
的切平面方程为
2
0
2
0
0
0
1
2
2
y
x
y
y
x
x
z
?
?
?
?
?
它与曲面
的交线在
xoy
面上的投影为
1
)
(
)
(
2
0
2
0
?
?
?
?
y
y
x
x
?
?
y
x
V
D
d
d
??
?
?
2
2
y
x
?
?
2
0
2
0
0
0
1
2
2
y
x
y
y
x
x
?
?
?
?
?
?
y
x
D
d
d
1
??
?
?
?
?
2
0
2
0
)
(
)
(
y
y
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
,
cos
0
0
r
y
y
r
x
x
?
?
?
?
令
2
?
?
(
记所围域为
D
)
在点
??
?
D
r
r
r
?
d
d
2
例
1.
求曲面
?
?
?
r
r
d
d
1
0
3
2
0
?
?
?
?
x
o
y
z
a
2
例
2.
求半径为
a
的球面与半顶角为
?
的
内接锥面所围成的立体的体积
.
解
:
在球坐标系下空间立体所占区域为
:
?
则立体体积为
???
?
?
z
y
x
V
d
d
d
?
?
cos
2
0
2
d
a
r
r
?
?
?
?
?
d
sin
cos
3
16
0
3
3
?
?
a
)
cos
1
(
3
4
4
3
?
?
?
?
a
?
cos
2
0
a
r
?
?
?
?
?
?
0
?
?
2
0
?
?
?
?
?
?
0
d
sin
?
?
?
?
2
0
d
r
r
v
d
d
d
sin
d
2
?
?
?
?
?
?
r
M
?
M
A
d
z
?
d
n
二、曲面的面积
x
y
z
S
o
设光滑曲面
则面积
A
可看成曲面上各点
)
,
,
(
z
y
x
M
处小切平面的面积
d
A
无限积累而成
.
设它在
D
上的投影为
d
?
,
A
d
cos
d
?
?
?
?
)
,
(
)
,
(
1
1
cos
2
2
y
x
f
y
x
f
y
x
?
?
?
?
?
d
)
,
(
)
,
(
1
d
2
2
y
x
f
y
x
f
A
y
x
?
?
?
(
称为面积元素
)
则
?
?
M
n
?
?
d
故有曲面面积公式
?
d
)
,
(
)
,
(
1
2
2
??
?
?
?
D
y
x
y
x
f
y
x
f
A
y
x
y
z
x
z
A
D
d
d
)
(
)
(
1
2
2
??
?
?
?
?
?
?
?
若光滑曲面方程为
,
)
,
(
,
)
,
(
z
y
D
z