文档介绍：计算技巧及方法总结
-、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做
1、二阶行列式
a11a22
a12a21
a11
a12
a13
a21
a22
a23
=a11a22a33 a12a23 a31
a31
a32
a33
2、三阶行列式
aii ai2
a21 a22
a13a21a32 a13a22a31 a11a23 a32
a12a21 a33 .
1 2 3
例1计算三阶行列式 405
(1) 1 5 0 4 2 6
1 0 6
1
2
3
解
4
0
5
1 0 6
1
0
6
2 5( 1) 3 4 0 3 0
10 48 58.
但是对于四阶或者以上的行列式,
不建议采用定义，最常采用的是行列式的
性质以及降价法来做
但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算
a11 a12
计算上三角形行列式
F三角形行列式
对角行列式
an 0
a21 a 22
an1 an2
a11 0
a21 a22
an1 an2
a1 n
a2n
ann
0
0
ann
0
0
ann
a11a22 ann
a11a22 ann・
a11 a22 ann
二、用行列式的性质计算
1、记住性质，这是计算行列式的前提
将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为DT或D',即若
an
a12
a1n
an
a21
an1
D
a21
a22
a2n
，则dt
a12
a22
a n2
an1
an2
ann
a1n
a2n
ann
性质1行列式与它的转置行列式相等，即D Dt.
注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质，它的列
也同样具有•
性质2交换行列式的两行（列），行列式变号.
推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零•
性质3用数k乘行列式的某一行（列）,等于用数k乘此行列式，即
a11
a12
a1n
a11
a12
a1n
D1
kai1
kai2
kain
k
ai1
ai2
ain
kD
an1
an2
ann
an1
an2
ann
第i行例）乘以k，记为i k（或Ci k ）.
推论
推论
性质
行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面行列式中若有两行若行列式的某一行
（列）元素成比例，则此行列式为零• （列）的元素都是两数之和
，例如，
aii
a-12
a1n
bi1 ci1
bi2 Q2
bin cin
ani
an2
a nn
a11
a12
a1n
a12
a1n
D
bi1
02
bin
Ci1
C2
Cin
an1
an2
ann
an1
an2
ann
D1 D2 •
性质
k后加到另一行（列）对应位置的元
将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数素上，行列式不变•
注：以数k乘第j行加到第i行上，记作ri krj ；以数k乘第j列加到第i列上，记作
Ci kcj •
2、利用"三角化”计算行列式
计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算 •例如化为上三角形
行列式的步骤是：
如果第一列第一个元素为 0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为 0;
然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为 0;
再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去直至使
它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值
(3)
（第一、
二两行相等）
(4)
0 （第二、三列相等）
(1)
(2)
5
2^2
0因为第三行是第一行的、、2倍.
0因为第一列与第二列成比例
，即第二列是第一列的 4倍.
1 2 3
1
1
0
例2若D
1 0 1
,则dt
2
0
1
0 1 <2
3
1 <2
D.
1
2
1
0
1
1
(1)
0
1
1
1
2
1
2
1
0
2
1
0
1
2
1
1
1
2
(2)
0
1
1
0
1
1
2
1
0
2
0
1