文档介绍：离散数学
第三章集合与关系集合
这里采用朴素集合论的方法,介绍有关集合的一些基本
知识,内容显得较为直观,学起来易于接受。但集合及其相
关的概念是本门课程后面各章内容的基础,读者务必熟练的
掌握。
主要内容如下
集合及其表示方法
集合间的关系
集合的运算和运算定律
集合成员表
集合的分划与覆盖
第三章集合与关系离散数学
集合及其表示方法
集合和元素
☆把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来
看待时,这个整体便称为是一个集合
☆组成集合的那些个体称为集合的元素。
例如全体中国人可组成一个集合,每一个中国人均是这个集合的
元素
又例如所有的正整数组成一个集合,每一个正整数均是这个集
合的元素。
通常用大写英文字母来标记集合,用小写英文字母标
记组成集合的个体
若个体a是集合A的元素,则记作“a∈A
若a不是集合A的元素,则记作“A
离散数学
几个常见的集合的表示符
所有正整数的集合
Q:所有有理数的集合。
所有非负整数的集合。R:所有实数的集合。
I:所有整数的集合。
N:从1到m,这m个正整数的集合
P:所有素数的集合。
zn:从0到m1,这m个非负整数的集合
于是2∈N,,-3gN,∈Q,-3∈I。
离散数学
集合的表示方法
1)列举法:按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号
内,元素之间用逗号隔开。
例如:A={2,a,b,9},B={4,5,6,7,8}
(2)描述法:给定一个条件P(x),当且仅当个体a使
P(a)成立时,a∈A。其一般形式为A=a|P(a)}
例如上述集合B={a|a∈N且4≤a≤8}
又如C={2|i∈2},即C={20,21,2,2,
D=2x|x∈Z且x≤50},即D={0,2,4,6,…,98,100
离散数学
集合的基数
集合A中不同元素的个数称为集合A的基数,记作A,或A|。
例如上页中的集合,#A=4,#B=5,#=51,集合C
有无穷多个元素,因此C的基数是无穷大
若#A是有限数,则称A为有限集,否则称A为无限集
例如N,Z,I,R等均为无限集
、空集
定义3-1不含有任何元素的集合,称为空集,记作
例如A={x1x∈R且x2+8=0}=q
离散数学
练****3-1

(1)A={aa∈P且a<20}
2,35,7,11,13,17,19
(2)B={ allais<4且a为奇数}(-3-1,1,3

(1)A={0,2,4,,200}
2xkx∈Z且x≤100
(2)B={2,4,8,…,1024}
2n∈N且n≤10
集合间的关系
离散数学
集合的包含和相等是集合间的两个基本关系。
集合的包含
定义3-2设有集合A、B,如果A的每一个元素都是B
的元素,则称A是B的子集或B是A的包含集,记
如丕躉B的子集,则记作AB。g
例如设A=(a,b,c,d},B={a,e,x,y,z,C={a,x}
则C≌B,CgA,BgA,AgB
离散数学
集合的包含关系具有如下几条性质
(1)对任意集合A,⑧cA
(2)对任意集合A,AcA
(3)对任意集合A、B、C,若AcB,BCC,则AcC
证明性质(1)
(反证法)假设gA,则至少有一个元素x∈
但xgA,这与空集的定义相矛盾,因此成立
离散数学
、集合的相等
定义3-3设有集合A、B,若Ac阻BcA,则称
集合A与B相等,记作A=B
例如设A={x|x∈N且x能整除24},
B={1,2,3,4,6,8,12,24}
则A=B
又例如
(1){a,b,e}={b,c,a}(2){a,b,c,}-{a,b,c}
(3){a,{b,c}≠{a,b},c}(4){Q}≠c
离散数学
集合的真包含
定义3-4设有集合A、B,若AcB且A≠B,则称A是B的
真子集,记作ACB,若A不是B的真子集,则记作AB
例如设A={0,1},B={0,1,2},C={0}
则 ACB CCB CB但BaB
、空集的唯一性
定理3-1空集是唯一的
证明假设有两个空集和⑧2,
因为空集被包含于每一个集合中
所以有1c④2,④2s
由定义3-3,⑦,=必,故空集是唯一的。