文档介绍：弹簧振子运动的研究
2002级5班林锡辉 13班方晓伟
如图(1)所示,把一个有孔的小球安在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球穿在光滑的水平杆上,可以在杆上滑动。小球在水平杆之间的摩擦忽略不计,弹簧的质量比小球的质量小得多,也可忽略不计。这样的系统称为弹簧振子,其中的小球常称作振子。
图(1)
由弹簧振子的定义可以看出,振子在运动的过程中,由于合外力时刻在改变,从而导致了加速度。速度跟着不断改变,因此它的运动就显得较为复杂。为了能够更好的掌握它的运动规律,同时锻炼我们对运动的研究能力,我们对它进行了初步的研究。
一、弹簧振子的周期和运动表达式

可能影响因素:小球的质量(M),弹簧的劲度系数(K)以及振子的振幅(A)。
(1)周期与振幅(A)的关系。
质量为m的小球,前后两次振幅分别为,,弹簧的劲度系数为K,前后两次振动的周期分别为T1,T2。
推论:在前后两个运动过程中分别取两小段位移,,使得,根据胡克定律及牛顿第二定律,得
,
∴
由于位移x是任意的,且q为定值。
∴
而
∴
△结论:弹簧振子的周期与振幅无关。
(2)周期与振子质量和劲度系数的关系。
有两个弹簧振子,振子的质量分别为,,弹簧的劲度系数分别为,,并且振子的振幅相同(因为周期与振幅无关,所以不用考虑它的影响)
推论:在两个运动中都取一小段位移x(任意的),同样有
由于是任取的,
同样可得
所以因此有
由此可以看出:弹簧振子的周期与振子的质量的算术根成正比,与弹簧劲度系数的算术根成反比,即(其中n是一个与小球质量,弹簧劲度系数,振子振幅等无关的常数)。
,速度,加速度的变化规律
根据沙漏实验(图2)可知:弹簧振子的位移——时间图像是一条余弦曲线。因为右图沙漏实验得到的余弦曲线,实际上是由x方向上的匀速直线运动和y方向的振动的合成,因此y方向上弹簧振子的振动图像也应为余弦曲线。
图(2)
如图(3),以经平衡位置向右运动开始计时,则其初相为
图(3)
设(A ,ω>0)
∴.
∵
∴
∴
∴
.
如图(4)是弹簧振子运动的x-t图象。
图(4)
由图像可见(即正面的常数η=2π);当时,x达到正向最大,此时振子速度ν=0(振子ν-t图象如图(5)所示);当时,振子位移为0,速度达到反向最大。
图(5)
(3)振子机械能的变化规律
取任意时刻t,则此时系统的总机构能为:

如图(6)是振子动能和弹簧势能的关系图,亦可见其机械能总量E恒等于
图(6)
△结论:弹簧振子在运动过程中机械能守恒,恒为
上述弹簧振子均为理想化模型,在实际生活中,由于各种阻力的存在,导致振子周期出现偏差,与理论不相符;振子的振幅也会逐渐减小,机械能逐渐减小。

如图(7)是竖直方向上的弹簧振子,振子受到一个恒力--重力的作用。设弹簧的劲度系数为K,自然长度为,振子静止时弹簧伸长量为△x,则有:mg=k△x 。现将振子向下拉伸x,则:

因为ΣF与x反向,所以矢量式为
∴
图(7)
由此可见,恒力作用下的弹簧振子(此时平衡位置为静止放置时振子所在处)周期不变,运动表达式不变。