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不定积分的例题分析及解法
这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量u = W 而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将转化成\uclu ,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如/(X)为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，/W为无理函数时，常可用换元积分法。
应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如
(其中0 vl)等。
这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
(一)关于原函数与不定积分概念的几点说明
(1) 原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数
/(兀)，若存在函数F(x),使得该区间上每一点兀处都有F\x) = /(x),则称尸(兀)是/(x)在该区间上
的原函数，而表达式F(x) + C(C为任意常数)称为f(x)的不定积分。
(2) f(x)的原函数若存在,则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数,因此求/(x)
的不定积分\f(x)dx时，只需求出/(兀)的一个原函数F(x),再加上一个任意常数C即可，即
^f{x)dx = F(x) + C o
(3) 原函数F⑴与不定积分\f(x)dx是个体与全体的关系，尸(x)只是/(切的某个原函数，而
\fMdx是/⑴的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C后，即F(x) + C才能成为/⑴ 的
不定积分，例如x2 + 1,x2+-,x2-3都是2x的原函数，但都不是2兀的不定积分，只有x2+C才是2兀的 2
不定积分(其中C是任意常数)。
(4) /(朗的不定积分\f\x)dx中隐含着积分常数C,因此计算过程中当不定积分号消失后一定要
加上一个任意常数C。
(5) 原函数存在的条件：如果函数/(X)是某区间上连续，则在此区间上/(x)的原函数一定存在,
由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是,
有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分
都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。
(二)换元积分法的几点说明
换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不
定积分的方法。
(1)第一换元积分法(凑微分法)：令u=u(x)
若已知J7⑴dx = F(x) + C ,则有
]7沁)00)厶=尸沁)]+ C
其中©CO是可微函数，C是任意常数。
应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形(凑微分形式)。
(1) dx = d(x + h) = —d(ax + h)(a > Z?为常数，a HO) a
具体应用为
J(a兀 + by11 dx =丄 J(处 + b)m d(ax + b)
丄3+旷+C
a m +1
—lnl^ + fcl + C
a
(m H _1)
(m = -1)
(2)
xadx =——d(xaU+b)
Q + 1
―1—d(axa+] +b)
(a + l)a
b、d均为常数，且QHO卫工―1)。例如:
1 2 |
xclx = — clx~ ,4xdx = — clx = 2d4x
2 3 yjx
—dx = d\nx = —d(a\nx + h) ( 为常数，d 工0) x a
(4)
exdx = dex, aXdx =乜匕(d〉0,且 d H 1)；
In 6/
(5) sinxdx = -d(cosx\cosxdx = J(sinx);
c ■ a
(6) sec" xdx = d(tan x),csc~ xclx = d(-cot x)
(7) dx = d(arctanx)
I +
(8) , dx = d (arcsin x)
VlZr7
在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求
J f (arctan x) —— dx
1 I -X-
dx
时，应将一dx凑成darcUmx；求
1 + x
时，应将 d兀凑成- dac cot无