文档介绍：第七章扭转
承受扭矩的细长杆件通常称为轴。许多机械通过轴来传递动力。汽车的发动机通过传
动轴的扭转将力矩传递给轮轴,轮轴经扭转将力矩传递给车轮,而车轮由地面摩擦阻力产
生的反力推动汽车前进。舰船的发动机通过推进轴的扭转将力矩传给螺旋桨,由于水的阻
力产生的反力使螺旋桨推动船舶前进。这一章将通过三个基本关系,推导圆轴截面上切应
力分布,以及切应力、扭转角与扭矩之间的关系。先从分析圆轴的扭转入手,再讨论矩形
截面和薄壁截面杆件的扭转问题。
§ 7-1 圆轴扭转的应力和扭转率
我们先考虑圆轴受扭的情形,这一类杆件在动力机械的功率传递中起着重要的作用。
一、几何关系分析
图 7-1a 所示两端受力矩 T 作用的等直圆轴,由平衡条件可知,每个截面上传递的扭
矩都等于 T。从圆轴中取出长度为Δx 的 AB 段和相邻的 BC 段(图 7-1b,c)。这两段圆轴
两端的受力情况相同,都受一对扭矩 T 作用。假定 B 端面在扭矩作用下表面凸出,由圆轴
的轴对称性可知端面应该是一个旋转凸曲面。假定 o 为 AB 段轴线的中点,oη与轴线垂直。
根据对 oη轴的对称性,A 端面也应该是凸出的旋转曲面。相邻的 BC 段的情况也是一样。
这样 AB 段与相邻的 BC 段的几何相容性条件就被破坏了,因为一连串端面凸出的轴段不
T
Δx o
Δx (b)
180° T
T A
η B
T
A B C
B C
(a) T
o
(c) T
图 7-1
η
能形成连续的圆轴。所以可以断定,圆轴扭转变形后所有的横截面都保持为平面,并且垂
直于轴线。
我们还可以对扭转时截面所在平面内的变形作进一步的推断。由于圆轴的轴对称性,
每一半径在变形后的形状应该是一样的。如图 7-2a所示,假定B端面上的半径oa变形后成
为曲线oa′,那么所有的半径都应该有相同的形状。将AB段圆轴绕 oη轴旋转 180°,A端面
150
上的半径o1d变形后成为曲线o1d’,应该与oa′形状相同。然而,在相邻的BC段的B端面上,
变形应该与AB段的A端面相同(图 7-2b)。比较 B截面两侧,可见B截面上的半径变形后的
几何相容性破坏了。因此可以断定,圆轴截面的径向直线,在扭转变形后仍然是直线。由
于轴对称的原因,截面上所有半径都旋转了同一个角度。综合起来讲,原来的圆形横截面
在扭转变形后仍然保持为平面且与轴线垂直,而且在其本身面内也没有扭曲,横截面只是
整体转动了一个微小的角度。这也就是材料力学教材中常用的关于圆轴扭转的平面截面假
设。
a′ a
T T
o1 o
180° T T
d’ d
η A B η B C
(b)
(a) 图 7-2
下面的分析建立了切应变沿径向的分布规律。如图 7-3a所示,以截面圆心为原点,
取x为轴向坐标,r为径向坐标,θ为周向坐标,建立圆柱坐标系。由于圆截面保持为平面,
而且在自身平面内没有扭曲变形,所以正应变εθ= 0。我们假设另两个正应变也为零:εx =
εr = 0。εx = 0 表示轴向没有伸长,εr = 0 表示径向没有膨胀。以圆轴的左端面为参照,设
ϕ(x)为截面整体旋转的角度。由于横截面作为整体旋转,所以切应变γrθ= 0。如图 7-3b所
T T
θ r
x
dx
(a)
dx
o
o’
r dϕ
R γθx
k
h g
g′τθx(r)
e f
f’
(b) (c)
图 7-3
151
示,从圆轴上截取一个楔型单元体。如果其左侧面ohe转角为ϕ,那么右侧面的转角为
(ϕ+dϕ)。从图 7-3b可见,变形前线段hk与hg互相垂直,变形后hk与hg’仍然垂直,所以
切应变γrx= 0。从上述分析可知,六个应变分量中有五个为零。
由于变形前互相垂直的线段hg和he,变形后成为锐角∠g′he,所以切应变γθx 不等于零,
而且γθx是r的函数
dϕ
γγ≈=tan r (7-1)
θθxxdx
式中dϕ/dx 表示扭转角沿轴线的变化率,称为扭转率(rate of twist)。上式表明,截面上任
意一点的切应变γθx与该点到圆心的距离r成正比。此式建立了一点的应变与变形(即截面
扭转率)之间的关系。由于截面作整体转动,所以在同一截面上dϕ/dx为一常数。
二、物理关系
前面的分析得出六个应变分量为
dϕ
ε===εε0 , γ==γ 0 , γ=r (7-2)