文档介绍：控制系统的复域数学模型
控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型,在给定外作用及初始
条件下,求解微分方程可以得到系统输出响应的全部时间信息。这种方法直观、准确,但是
如果系统的结构改变或某个参数变化时,就要重新列写并求解微分方程,这样不便于对系统
进行分析和设计。
传递函数是在拉氏变换基础上定义的复数域数学模型。传递函数不仅可以表征系统的动
态特性,而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛
应用的根轨迹法和频域法,就是以传递函数为基础建立起来的,因此传递函数是经典控制理
论中最基本也是最重要的数学模型。
传递函数

传递函数是在零初始条件下,线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之
比。
线性定常系统的微分方程一般可写为
n tc )(d n−1 tc )(d tc )(d m tr )(d m−1 tr )(d tr )(d
a + a ... a )( =+++ btca + b ... b +++ trb )( (2-27)
n dt n n−1 dt n−1 1 dt 0 m dt m m−1 dt m−1 1 dt 0
式中,tc )( 为输出量,tr )( 为输入量; nn −,...,, aaa 01 及 mm −,...,, bbb 01 均为由系统结构、参
数决定的常系数。
在零初始条件下对式(2-33)两端进行拉氏变换,可得相应的代数方程
n n−1 m m−1
( n n−1sasa .... 01 ()() m m−1 ... ++++=++++ 01 sRbsbsbsbsCasa )() (2-28)
系统的传递函数为
mm−1
Cs( ) bsmm+ b−11 s++... bs + b0
= nn−1 (2-29)
R(sasas ) nn+ −11++... asa +0
传递函数是在零初始条件下定义的。零初始条件有两方面含义:一是指输入作用是在
t=0 以后才作用于系统,因此,系统输入量及其各阶导数在 t ≤ 0 时均为零;二是指输入
作用于系统之前,系统是“相对静止”的,即系统输出量及各阶导数在 t ≤ 0 时的值也为
零。大多数实际工程系统都满足这样的条件。零初始条件的规定不仅能简化运算,而且有
利于在同等条件下比较系统性能。所以,这样规定是必要的。
例2-7 试求例 2-1 中 R-L-C 无源网络的传递函数
解由例 2-1 式(2-3)可知,R-L-C 无源网络的微分方程为
2 tu )(d tu )(d
LC c + RC c =+ tutu )()(
dt 2 dt c r
在零初始条件下,对上式两端取拉氏变换并整理可得网络传递函数
c sU )( 1
sG )( == 2
r sU )( LCs RCs ++ 1
实际求元部件传递函数时必须考虑负载效应,所求的传递函数应当反映元部件正常带载
时工作的特性。比如,电动机空载时的特性不能反映带载运行时的特性。

(1) 传递函数是复变量 s 的有理分式,它具有复变函数的所有性质。
因为