文档介绍：第二章控制系统的数学模型
一、主要内容
(1)控制系统的微分方程-建立
(2)非线性模型的线性化
(3)控制系统的传递函数
(4)各典型环节及其传递函数
(5)控制系统的结构图-等效变换
(6)控制系统的信号流图-梅逊公式
二、基本要求
(1)理解数学模型的特点,掌握系统的相似性、简化性、动态模型、静态模型等概念。
(2)掌握动态微分方程建立的一般方法。
(3)掌握对非线性系统采用小偏差线性化的方法。
(4)正确理解传递函数的定义、性质和意义,掌握传递函数的微观结构。
(5)掌握系统的各种传递函数:开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数、给定作用下的闭环传递函数以及扰动作用下的闭环传递函数等。
(6)了解各典型环节传递函数。
(7)掌握系统结构图和信号流图的定义和组成方法,熟练的掌握结构图等效变换法则和梅逊公式求系统传递函数。
(8)正确理解微分方程、传递函数、结构图和信号流图之间的对应关系,利用以上知识,熟练地将它们进行相互转换。
三、内容提要
1、数学模型
数学模型:描述系统动态特性及其变量之间关系的数学表达式或其它形式的表示。
描述系统变量的各阶导数之间关系的微分方程称为系统的动态模型。在静态条件下,即描述系统变量的各阶导数为零,描述变量之间关系的代数方程称为静态模型。
常用的数学模型有微分方程、差分方程、状态方程和传递函数、结构图、频率特性等。
2、微分方程
微分方程是描述各种事物最基本的数学工具,是各种数学描述方法的共同基础。
(1)微分方程的一般形式
线性定常系统微分方程一般形式为:
其中,各项系数均为实数。
(2)建立微分方程的一般步骤
①分析系统(或元件)的物理过程,确定输入和输出变量以及中间变量;
②从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理(或化学)定律列出原始方程;
③消去中间变量,写出输入、输出变量的微分方程;
④化成标准型。
(3)非线性模型的线性化
①单变量非线性函数
设为非线性特性方程,稳定工作点近似式。
式中系数为工作点处切线的斜率,即。
②对多变量非线性函数
设有非线性函数,若系统的工作点为,近似表达式
其中。
3、传递函数
(1)定义
在线性定常系统中,当初始条件为零时,系统输出的Laplace变换与输入的
Laplace变换之比,称为系统的传递函数。
在零初始条件下,对上述系统微分方程的一般形式两边同时求Laplace变换,并令输出的Laplace变换为,输入的Laplace变换为,求得传递函数:
(2)传递函数的主要性质
①由于传递函数适用于线性系统,它与微分方程一一对应;
②传递函数与微分方程一样包含了系统的全部信息;
③传递函数是系统本身的一种属性,与系统的输入、输出无关;
④传递函数描述是单变量系统描述和系统外部描述;
⑤传递函数实在零初始条件下定义的;
⑥传递函数一般为复变量的有理分式,所有系数均为实数且;
⑦传递函数与系统的冲击响应为一对变换对,即。
(3)传递函数的微观结构
①零极点表达式
式中称为传递系数或根轨迹增益。
②归一化(时间常数)表达式
式中称为系统传递函数的静态(稳态)放大系数。
(4)零点、极点、传递系数与系统响应的关系
①传递函数极点的形式,决定了系统自由运动模态的具体形式。
②极点位置决定了系统响应的稳定性和快速性。
③零点决定了运动模态的比重。
④传递系数决定了系统稳态传递性能。
4、系统结构图
(1)定义
控制系统的动态结构图是描述系统各元件之间信号流向和传递关系的数学图示模型,它表示系统各变量之间的因果关系以及对各变量所进行的运算。
(2)结构图的组成
结构图由信号线、分支点、相加(综合)点和方框等单元。
(3)结构图的绘制方法
步骤:
①列写每个元件的原始微分方程,并注意负载效应;
②将原始微分方程求Laplace变换,并将得到的传递函数写入方框中;
③将这些方框按信号的流向和传递关系用信号线、相加点和分支点连接起来,即得到整个系统的结构图。
(4)结构图的基本连接形式
①串联
②并联
③反馈连接
(5)结构图的等效变换
结构图的等效变换法则主要有:分支点前移、分支点后移、相加点前移、相加点后移、相加点互换等。
5、控制系统的传递函数
典型控制系统结构图:
①前向通道传递函数:
②反馈通道传递函数:
③开环传递函数:
④闭环传递函数:
⑤误差传递函数:
⑥闭环特征方程式:
6、信号流图
(1)定义
信号流图是一种表示一组线性代数方程的图示方法。像结构图一样,它也是一种描述系统内部信号传递关系的数学模型。信号流图比结构图更简便明了,不用进行化简,就可利用梅逊