文档介绍：圆锥曲线的方程与性质
1椭圆
(1)椭圆概念
平面内与两个定点 F1、的焦点，两焦点的距离
椭圆的标准方程为:
F2的距离的和等于常数 2c叫椭圆的焦距。若 M
2
x
a
2 y_ b2
2a (大于IRF2I)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆为椭圆上任意一点，则有
0)(焦点在
x轴上)
| MF1 | |MF2 | 2a。
2
y
~2
a
2
x
2 1 (a b 0)
b
(焦点在
上)。
注：①以上方程中
2 2
②在务占
a b
母的大小。例如椭圆
a b 0,其中b2
a,b的大小
2 2
y x_
一 b
2
y
n
1和2
a
2
x
1两个方程中都有a
0的条件，要分清焦点的位置，只要看
n )当m n时表示焦点在x轴上的椭圆;
的分
m
表示焦点在y轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
2 y_ b2
对称性：在曲线方程里，若以
2
x
①范围：由标准方程笃
a
1知|x| a , |y| b，说明椭圆位于直线 x a ,
b所围成的矩形里;
y代替y方程不变，所以若点(x, y)在曲线上时， x代替x方程不变，则曲线关于 y轴对称。若同时以
占
八、、
(x, y)也在曲线上，
x代替x , y代替y
所以曲线关于x轴对称，同理，以
方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与
x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令
x 0，得y b，则B1(0, b) , B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令 y 0得x a，即A( a,0),
A?(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段 AA、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a和2b , a和b分别叫做椭圆的长
半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ；在Rt OB2F2中，|OB2 | b , |0F2 | c , | B2F2 | a ,
2 2 2 2 2 2
且 |OF2 I2 I B2F2 I2 |OB2 |2，即 c2 a2 b2 ；
c
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e 叫椭圆的离心率。••• a c 0 ,••• 0 e 1，且e越接近1, c就
a
越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之， e越接近于0 , c就越接近于0，从而b越接近于a，这时
椭圆越接近于圆。当且仅当 a b时，c 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为 x2 y2 a2。
2•双曲线
(1)双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线( || PF1 | | PF2 || 2a )。
注意：①式中是差的绝对值，在0 2a | F1F2 |条件下；|PF1 | | PF2 | 2a时为双曲线的一支； |PF2| |PF1| 2a时为双曲线的另一支(含 F1的一支)；②当2a 厅汀2丨时，|| PF11 |PF2〔| 2