文档介绍：第五节
一、有向曲面及曲面元素的投影
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
三、对坐标的曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
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对坐标的曲面积分
第十章
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
莫比乌斯带
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面分左侧和右侧
(单侧曲面的典型)
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其方向用法向量指向
方向余弦
> 0 为前侧
< 0 为后侧
封闭曲面
> 0 为右侧
< 0 为左侧
> 0 为上侧
< 0 为下侧
外侧
内侧
• 设 为有向曲面,
侧的规定
指定了侧的曲面叫有向曲面,
表示 :
其面元
在 xoy 面上的投影记为
的面积为
则规定
类似可规定
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二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 的流量 .
分析: 若 是面积为S 的平面,
则流量
法向量:
流速为常向量:
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对一般的有向曲面 ,
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
进行分析可得
, 则
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设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个
意分割和在局部面元上任意取点,
分,
记作
P, Q, R 叫做被积函数;
叫做积分曲面.
或第二类曲面积分.
下列极限都存在
向量场
若对 的任
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
2. 定义.
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引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为
称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
若记 正侧的单位法向量为
令
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
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3. 性质
(1) 若
之间无公共内点, 则
(2) 用ˉ 表示 的反向曲面, 则
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面
取上侧,
是 上的连续函数, 则
证:
∵ 取上侧,
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• 若
则有
• 若
则有
(前正后负)
(右正左负)
说明:
如果积分曲面 取下侧, 则
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