文档介绍：东南大学(2014～2015)年第一学期
桥梁结构振动与稳定分析研究报告
成 绩：
姓 名：
高明天
学 号：
145511
专 业：
桥梁与隧道工程
授课教师：
万 水
日 期：
2015年1月
目录
2薄板的振动理论及应用
薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。（1）试求薄板振动的频率，特别是最低频率。（2）设已知薄板的初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时的挠度。
设薄板在平衡位置的挠度为，这时，薄板所受的横向静荷载为。则薄板的弹性曲面微分方程为：
（a)
式（a)标示：薄板每单位面积上所受的弹性力和它所受的横向荷载q成平衡。
设薄板在振动过程中的任意瞬时t的挠度为，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力，将与横向荷载q及惯性力成平衡，即
（b)
薄板的加速度是，因而每单位面积上的惯性力是
其中为薄板每单位面积的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振东的质量），则式（b）可以改写为
(c)
将式（c）与式（a)相减，得到
由于不随时间改变，，所以上式可以改写成为
(d)
命薄板在任意瞬时的挠度为，而式(d)成为
或
（2-1）
这就是薄板自由振动的微分方程。
微分方程(2-1)有如下形式的解答：
（2-2）
在这里，薄板上每一点(x,y)的挠度，被标示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是。另一方面，薄板在每一瞬时t的挠度，则被标示成为无数多钟振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数标示的。
为了求出各种振形下的振形函数，以及与之相应的频率，我们取
代入式(2-1),然后消去因子，得出所谓振形微分方程
（2-3）
如果由这一微分方程求得W的满足边界条件的非零解，即可由关系式
（e）
求得相应的频率。自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。
实际上，只有当薄板的为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这时，命
（2-4)
则方程（2-3)简化为常系数微分方程
（2-5）
现在就可能比较简便地求得W的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的值，然后再用（2-4）式求出相应的频率。将求出的那些振形函数及相应的频率取为及，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数及。
设初始条件为
则由（2-2）式得
于是可见，为了求得及，必将已知的初挠度及初速度展为的级数，这在数学处理上是比较困难的。因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。在绝大多数的情况下，只能求得各种振形的振形函数及相应的频率。
取振形函数为
（2a）
其中m及n为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得 图2-1
为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x和y取任意值时都满足，必须有
（2b）
将式（b）代入（2-4）式，得出自然频率的公式
（2c）
命m及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率
（2-6）
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
而薄板的挠度为
（2d)
则薄板在自由