文档介绍：附录F Fourier变换、Lap lace变换
§ —维 Fourier 变换
在解微分方程的时候经常采用积分变换。 一阶微分方程，用一次积分变换就得到一个代数方程。 然后,
求解这个代数方程。最后，对其解作一次逆变换得到微分方程的解析解。通常采用的积分变换有
这里先介绍一维的 Fourier变换:
Lap lace 变换、Fourier 变换。
函数
t的Fourier变换g
定义为:
记为
dte i tg t
(-1a)
(-1b)
这样自变量从原先的t变成
。这是两个对应的自变量。 反过来，已知象函数” g 可以通过逆变换
得到
原函数”g t :
■ i t —
deg
(-2a)
记为
g t F-1
(-2b)
Fourier变换是一种线性变换,
即:
F af t bg t af
bg
（a、b为常数）
(-3)
性质:
（1）
是实的偶函数,
也是实的偶函数。若 g t是实的奇函数，贝U g 是虚的奇函
数。
伸缩:
at
(-4)
翻转:
(-5)
平移:
t0
t0
(-6a)
微分:
F-1
ei0t
(-6b)
dtn
(-7a)
（6）卷积：F
gi t
其中gi t
g2 t
n
it g t
gi
gi
92
g2 t
dng
(-8)
VT d g1t
g2
(-9)
表F-1 —维Fourier变换简表
g t
g
1
1
歹
x
1
厅
iax —
e , Rea
1
Q a
2 2
e ax ,a 0
fe
a
§
定义为
任意三维变量r的函数V r，其Fourier变换V k
3/2
(-1a)
dr eik rV r
或记为
(-1b)
体积元dr
2
dxdydz r sin dr d
d
而向量变量
k是在对应的倒易空间
-1中的。r和k是一对对应的变量。反过来,
换”V r
F-1 V k ，从 V k
（称为象函数）求得 V r （称为原函数）：
3/2
1
ik r —
V r -
- dke V k
2
1
记为：V r
F-1 V k
通过
注意：向量变量r是在三维空间 中的,
(-2)
反 Fourier 变
(-3a)
(-3b)
固体物理中的
Fourier变换体现在三维的位置向量 r和波矢k向量之间:
f r丄
V k
1 dreikk
Vv
. i k k r
3 dre
V
(-5)
dre
V
(-6)
其中:
1 all
dk
§ La