文档介绍：向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系
一、四心的概念介绍、
(1)重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：１；
（２)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;
（3）内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;
（4）外心——中垂线的交点(外接圆的圆心）:外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四线与向量的结合
　　（记忆:交叉分配系数）
(记忆:分母对应分配系数）
应用1：
(1）中线：　　　　　　　　　（2）高线：　
(3)角平分线: 　　　　　　（4)中垂线:
应用2。四线上的动点表示:
(１）中线上的动点: 或
(２）高线上的动点:,
(3)角平分线上的动点：
(4)中垂线上的动点： ,
三、四心与向量的结合
１.
（记忆：拉力平衡原则）
应用：
（１）是的重心。　＝1：1：1 　
（2）为的垂心。　
　　　
（３)Ｏ为的内心。
　　　　
(4）为的外心

：
(1)是的重心.
（２)为的垂心.
（3）Ｏ为的内心.　
(４)为的外心
:
一、与三角形“四心"相关的向量问题
题１：已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过△ABC的
Ａ。外心　　　　 B。内心　　　　 C。　重心　　Ｄ．垂心
题２:已知O是平面上一定点,A、B、Ｃ是平面上不共线的三个点，动点P满足, 。　则P点的轨迹一定通过△ＡBC的( 　 )
A．外心　 B. 内心　　　Ｃ. 重心　　 D.　垂心
题3:已知O是平面上的一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，,　则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A。重心Ｂ. 垂心　　 C. 外心　　 D．　内心
题４:已知Ｏ是平面上的一定点，Ａ、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）
A。重心　　　　B。　垂心　　 C。　外心　　 D. 内心
题5:已知O是平面上的一定点，Ａ、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ＡBC的( )
Ａ. 重心　　　　 B.　垂心　　　　C. 外心　Ｄ。内心
题6:三个不共线的向量满足=＋) ＝=　0,则O点是△ＡBＣ的( )
A。垂心　　　　 B.　重心　　　　　 C. 内心　 D。　外心
题７:已知Ｏ是△ABC所在平面上的一点,若= 0,　则O点是△ABC的(　　　)
Ａ。　外心　 B。内心　 C。重心　 D. 垂心
题８:已知O是△ABC