文档介绍：高中数列知识点总结(附例题)
知识点1等差数列及其前n项
等差数列的定义
等差数列的通项公式
如果等差数列｛an｝的首项为ai,公差为d,那么它的通项公式 an = ai+ (n— 1)d.
等差中项
a+ b
如果A=—2 ，那么A叫做a与b的等差中项.
等差数列的常用性质
通项公式的推广：an= am+ ( n-m) d, (n, m€ N*).
⑵若｛an｝为等差数列，且 k+ 1= m + n, (k, l, m, n € N*)，贝U ak + ai= am+ an.
⑶若｛an｝是等差数列，公差为 d，则｛a2n｝也是等差数列，公差为 2d.
⑷若｛an｝ , ｛bn｝是等差数列，则｛pan+ qbn｝也是等差数列.
⑸若｛an｝是等差数列，公差为 d，则ak, ak+ m, ak+ 2m,…(k, m€ N*)是公差为 md的等差数 列.
等差数列的前n项和公式
设等差数列｛an｝的公差d,其前n项和Sn =
n a1 + an
2
或 Sn = na1 +
n n— 1
2
d.
等差数列的前n项和公式与函数的关系
d d
Sn=^n2 + a1 — 2 ｛an｝是等差数列？ Sn= An2 + Bn, (A、B 为常数).
等差数列的最值
在等差数列｛an｝中，a1>0, d<0,则Sn存在最 大值；若a1<0, d>0,则S 存在最 小值.
［难点正本疑点清源］
等差数列的判定
定义法：an — an-1= d (n> 2)；
等差中项法：2an+1 = an+ an+ 2.
等差数列与等差数列各项和的有关性质
am, am+ k, am + 2k, am + 3k,…仍是等差数列，公差为 kd.
数列Sm , S2m— Sm, S3m— S2m,…也是等差数列.
S2 n-1 = (2n— 1)an.
若n为偶数，则S偶—S奇 = nd.
若n为奇数，则S奇一5偶=a中(中间项).
3 1
例1 (等差数列的判定或证明)：已知数列{an} 中, a匸5,录
设函数f(x)= 1+ -,
-帚(n>2x — 7
易知f(x)在区间一X,
•••当n = 3时，an取得最小值一1 ；当 例2 (等差数列的基本量的计算)设 数列｛an｝的前n项和为Sn，满足S5S6+ 15 = 0.
若 S5= 5,求 S6 及 a1
⑵求d的取值范围.
―15
解 (1)由题意知 S6= S5 =一 3, a6= S6— &= — 8.
5a1 + 10d = 5, 所以
,
1
n€ N*),数列｛bn｝满足 bn= (n€ N*).
an — 1
求证：数列｛bn｝是等差数列；
求数列｛an｝中的最大项和最小项，并说明理由.
(1)证明
1 * 1
T an = 2— (n>2, n€ N ), bn =' .
an—1 ' ， 八 an — 1
••• n》2时,
.匚 1
bn— bn —1 =
an — 1 an —1 — 1
1
1 an-1 — 1
2— -1
an— 1
an —1 1 “
= — =1.
an —1 — 1 an— 1 — 1
5
•数列｛bn｝是以一5为首项，1为公差的等差数列.
7 1 2
一 7,则 an=1+bn=1+右，
⑵解由(1)知，bn= n
7和7，+ %内为减函数.
n= 4时，an取得最大值3.
ai, d为实数，首项为ai，公差为d的等差
1
故d的取值范围为d<-2 2或d>2 2.
例3 （前n项和及综合应用）（1）在等差数列｛an｝中，已知ai = 20,前n项和为Sn, 且Sio= S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；
⑵已知数列｛an｝的通项公式是an = 4n—25,求数列｛|an|｝的前n项和.
解 方法一一 •.•a1 = 20, S1o= S15,
10X 9 15X14 5
10x 20 + ~2~d= 15x 20+ 2 d,二 d= — 3.
5 5 65
i an = 20+ (n— 1)x — 3 = — §n + -3.
a13= 0,即当 nW 12 时，an>0, n》14 时，an<0,
12 x 11
•••当门=12或13时,Sn取得最大值，且最大值为S13= S12= 12x20+ 〒 x
=130.
5
方法二 同方法一求得d= — §.
5 25 2 3 125
6n— +
.c n n— 1 5 5 2 125
••合=20n + 2•— 3 = — 6n + 百n_ 6 n 2 1 2