文档介绍：浅谈函数奇偶性的判别方法
摘要：判定函数f（x）的奇偶性一般采用定义判定，但使用该法判定一些较复杂函数奇偶性 则易出错，为此应向学生介绍定理。
关键词：解题教学；函数；屮学数学教学
一般的，判定函数f（x）的奇偶性都采用定义判定。这种方法，对判定一些简单函数的 奇偶性是非常有效的，但对一些较复杂的函数奇偶性判定就易出错。如在解下例时，就有学 生这样做：
判定函数/U）=班丁吕* + t）（d〉°）的奇偶性。
解:
・・• /（兀）的定义域是A = {x\xe /?且兀丰0},
乂 f(-x) = -x
X — -- -兀）工±/（兀），故f（兀）是非奇非偶函数。
错了！其实f（x）是偶函数，因为：
⑴
⑵
=x + —
3-1 2 丿
= .fM
学生出错的原因就是由于没有掌握⑴（2） （3）这三步的技巧变形，致使变形不恰当而 造成判断失误。类似这样的错误，在学生屮常常出现，学生为此也感到因惑，不知道怎样变 形才恰到好处，尤其是在变形屮要涉及到技巧问题，往往就更难把握好。
判断函数的奇偶性是在未知其结果的情况下进行的，因而用定义判定时，变形的目的性 不强，没有固定的变形方法，学生对H己所得结果也就半信半疑，不敢定论，怕在变形屮出 了问题或变形不恰当，尤其是遇到一个非奇非偶函数的判定更是如此。
定理:设f（x）的定义域为A,方程f （-x） =f （x）（或f （-x） = -f （x））的解集为N,则f （x） 为偶函数（或奇函数）的充要条件是A二N。
证明：充分性：-A = N
・••任意兀° g A,则兀o w N,即/(-x0) = /(x0)(或/(-x0) = -f (x())), 是偶函数(或奇函数)
必要性：.f（x）为偶函数（或奇函数）
・•・对任意勺e A,旬•（一心）=f（x0）（或/ （-无）=（勺）），
亠+斗2丿 定理可知，判断函数的奇偶性，只需要判定
rh
1 2・・・兀工0,.•.上述方程可化为:
?:般跟显铀囲工⑴「占方程心）=w得方程
—1 1 1 1 Hn 1 — ClA +亠
= + —, 即 =-1 怛成乂, ax -1 2 ax-\ 2 ax
方程/(—x) = /⑴的解集是N = {x\xe RKx工0} 由A = M0/(x)是偶函数。
方程f(-x)=f(x)(或f (-X)=-f (x))的解集与函数F(x)的定义域是是否相等即可,这样,用 木定理判定函数的奇偶性，就不会涉及到技巧变形。如前例用定理判定就可以这样进行： 解：
从上看出：用定理判定函数的奇偶性，不但不涉及技巧变形，而且思路清晰，bl的I •分明确, 可行性强，有章可循，学生易掌握。因此，有必要向学生介绍定理。为了进一步说明木定理 的优越性，特举两例供同行们比较。
判断下列函数的奇偶性：
f (x) = logd (V x2 +1 + x)(a > 0, a Hl)
“、“、l + sinx + cosx
f (x) =
2 + sinx-cosx
解：(l)・.・f(x)的定义域是一切实数，即A二R, 由方程f(-x)二f(x)得
log“ (J(F' + 1 一 兀)二 log" + 1 + x),即-x二x
故方程f (-X