文档介绍：第三章复数及其应用
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我们知道,一元二次方程x2=-,当根
的判别式△=b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a、b、c为
实数且a≠0)在实数范围内也无解
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为了使方程x2=-1有解,引进一个新数,叫做虚数单位,并且规定
数i有如下性质
(1)i平方等于-1,即i=-1;
(2)i与实数进行四则运算时,原有的加法、乘法的运算法则和运算
律仍然成立
由性质(1)知,x=i是方程x2=-1的一个解
由性质(2)知,(-i)2=(-1-i)2=(-1)212=1(-1)=-1,
故x=-也是方程x2=-1的一个解
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根据上述性质,可以与实数b相乘,由于满足乘法交换律,其乘积
般写作b(规定o-i=0),再将b与实数a相加,由于满足加法交换律,
其和一般写作a
形如a+ba,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数的实部,b叫做
复数的虚部复数一般使用小写字母;,w…等来表示
例如,复数z=-3-4i的实部为一3,虚部为—4
当虚部b=0时,复数a+b=a就是实数
当虚部b≠0时,复数a+bi叫做虚数,特别a=0时虚数叫做纯虚
数
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全体复数组成的集合叫做复数集,常用大写字母C来表示,即
zz=a+b,ab∈R
显然,实数集R是复数集C的真子集.
引入复数后,数的范围得到扩充
有理数
实数a(b=0)
无理数
复数a+bi
(a,b∈R
虚数a+bi(b≠01纯虚数(a=0)
非纯虚数a+b(a≠0)
巩固知识典型例题
例1指出下列复数的实部和虚部,并判定它们是实数还是虚数?
如果是虚数是否为纯虚数?
(1)z1=3-i:(2)2=3
3
解(1)x的实部a=3,虚部b=-1,它是虚数,但不是纯虚数
(2)z2的实部a=3-√2,虚部b=0,它是实数
(3)z3的实部a=0,虚部b=-,它是虚数,且是纯虚数
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如果两个复数a+bi(a,b∈R)与c+dic,d∈R)的实部与虚部
分别相等,那么称这两个复数相等记作a+b=c+di,即
a+bi=c+dia=c且b=d
特别地a+bi=0÷a=0且b=0
两个复数中,只要有一个不是实数,就不能比较它们的大小
而只能说它们相等或不相等.
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如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么,这两个复
数叫做互为共轭复数例如2+3和2-3i互为共轭复数
复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数用z来表示,即=a-b
巩固知识典型例题
例2已知(x-2)+xi=1-(x-3y),其中x,y是实数,求x和y的值
解根据公式(),得
x=-(x
解方程组得x=3,y=2
巩固知识典型例题
例3求复数x1=-20+33
=-7的共轭复数
4
解x=-20-33i,