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巧用辅助圆，妙解几何题
在一些数学题中，看似与圆毫无关系但是用常规的解题方法却无法解决问题， 而通过题
中的某些条件构造辅助圆， 运用圆的知识进行解答， 往往就会使题目简单化， 从而使难题迎 刃而解•本文结合一些实例，探析如何巧用辅助圆妙解几何题
一、几何问题中的求线段长度
求线段的长度是初中数学比较常见的问题 •该问题的常规解法是通过做垂直线构建直角 三角形从而运用勾股定理或是巧用面积公式 •但是在一些问题中，通过直接作出垂线，往往 会使图形更加复杂，从而不能成功解题
例1如图所示，在四边形 ABCD中，AD//BC，已知BC CD AC 2 3，
AB 6 •则 BD _.
解析 通过题干中的条件 BC CD AC，我们可以想到以 C为圆心，BC为半径作 圆•根据圆的性质：直径对应的圆周角为直角，可以延长 BC交于O C于点E，连接DE , 如图所示，此时 //BC , AB DE .6，由勾股定理得
BD 、. 42 BD.
点拨 根据题干中的线段相等，从而构建辅助圆，接着利用圆的性质进行解题 •其中需
要注意的是，虽然辅助圆能做出，但是要想解题，就要对圆的性质有一个深刻的理解 •
二、几何问题中的求角的度数
求角的度数问题一般都是以三角形为载体， 该问题的常规解法是利用三角函数的知识去
解答，但是由于初中数学只学****了一些特殊的三角函数值且在直角三角形的载体中 •当遇到
一般的三角形，此时学生往往会无计可施
例2 如图所示，在VABC中，其中AB AC , BD是 ABC的平分线，
BD AD BC，贝U A _—
解析 由题意得，本题要求的是 A，由于此题告知任意一个角的大小且 VABC也不
是直角三角形，因此运用三角函数的知识是很难解答该题的 •由题干中BD平分 ABC，可
得 ABD DBC •作VABC的外接圆，如图所示•根据圆的性质可得， AD DE .因为
四边形ABED为内接四边形，所以 ABC EDC C，所以2 C DEB ,
DE EC
•因为BD
AD
BC
BE
EC 且 AD DE
EC，所以BE
BD
•因为
DEB
BDE 2
C ,
在
VBDE
中， DEB
BDE
DBE
180
,即
4 C -
2
C 180
,得
C
40 •
在VABC中，
A ABC
C
180
,得
A 100
点拨 此题是根据角平分线从而想到画出三角形的外接圆， 然后找出各角之间的关系进
行解答的•因此，在求解角的度数时，要充分运用辅助圆，找出相等的角，最后通过运用三 角形内角和为180列出式子求解•此类题型的难点在于，如何画出辅助圆
三、几何问题中的求最值
求最值的问题在中考中是常见问题， 其一般的思路就是设未知数，然后寻找关系列出函
数表达式，即可解答出•虽然解题思路清晰，但是此类题型的难点就是在如何将条件整合起 来，找出其之间的