文档介绍：2 矩阵
矩阵是学好线性代数这门课程的基础， 而对于初学者来讲， 对于矩阵的理解 是尤为的重要； 许多学生在最初的学****过程中感觉矩阵很难， 这也是因为对矩阵 所表示的内涵模糊的缘故。 其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系 的时候，我们才会发现， 原来用矩阵来表示这些 “繁琐”的事物来是多么的奇妙 ！ 于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单 !
知识要点解析
矩阵的概念
1．矩阵的定义
由mKn个数aj（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n列的矩形数表
a11 a12 a1n
A a21 a22 a2n
A
am1 am2 amn
称为mXn矩阵，记为A咼）甸
2．特殊矩阵
（1） 方阵：行数与列数相等的矩阵；
（2） 上（下）三角阵：主对角线以下 （上）的元素全为零的方阵称为上 （下）
三角阵；
（3） 对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；
（4） 数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；
（5） 单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为 E；
（6） 零矩阵：元素全为零的矩阵。
3．矩阵的相等
设 A （aij ） mn; B （bij ）mn
若 aij bij (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) ，则称 A 与 B 相等，记为 A=B。
矩阵的运算
1．加法
(1)定义：设 A (Aj)mn，B (bj)mn，则 CAB ® bj ) mn
( 2 )运算规律
A+B=B+A ②。A+B +C=A+ (B+C
③ A+O=A ④ A+ (-A) =0, - A是A的负矩阵
2．数与矩阵的乘法
定义：设 A (aij )mn,k 为常数，则 kA (kaij )mn
运算规律 ① K (A+B =KA+KB ② (K+L)A=KA+LA
③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法
(1)定义：设 A (aj)mn，B (bj)
n
AB C (Cij )mp, 其中 Cij aikbkj
k1
( 2)运算规律
① (AB)C A
(BC)
；② A(B
C)
AB AC
③(B C)A
BA
CA
3)方阵的幂
①定义： A
(aij)n
，则 Ak
A
K
A
②运算规律：
Am
An Am
n
?
(Am)n A
(4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或 B 0;
③(AB)k Ak Bk
4．矩阵的转置
定义：设矩阵A=(aj)mn，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 AT (aji )nm，
( 2)运算规律
①(At)t A; ②(A B)t At Bt ；
③(kA)T KAt; ④(AB)t Bt At。
对称矩阵与反对称矩阵
若A A,则称A为对称阵；
At A，则称A为反对称阵。
定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则称
A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作B A 1。
A可逆的元素条件：
A可逆 A 0
可逆阵的性质
若A可逆，则A-1也可逆，且(A1)-1 =A;
若A可逆，k工0,则kA可逆，且(kA) 1丄A1;
k
若A可逆，则AT也可逆，且(At) 1 (A 1)T ;
若A，B均可逆，则AB也可逆，且(AB) 1 B 1A 1。
伴随矩阵
①定义：A* (Aj)T，其中Aij为aj的代数余子式,
性质：
ii ) A* |An1;
i ) AA* A*A AE ;
iii ) (A*)* An2A;
iv )若A可逆，则A*也可逆，且(A*)
(A 1)
AA
.
用伴随矩阵求逆矩阵公式:
方阵的行列式
定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式(各元素的位置不变)叫
做方阵A的行列式，记为A或detA。
：
(1) AT A，
(2) kA knA，
(4) A1
(3) AB AB ,
3 •特殊矩阵的行列式及逆矩阵
⑴单位阵E： E
1；
⑵数量矩阵kE：
kE
kn;当 k
0 时,(kE)
（3）对角阵:
（下）三角阵
a11
a22
ana22
a nn
ann
若A 0，则A 1仍为上
（下）三角阵
1 •矩阵的初等变换
（1）定义：以下三种变换
①交换两行（列）；
②某行（列）乘一个不为零的常数
k;