文档介绍：一、问题的提出
实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐
标是(,),(5,1),(13),(5,3)、在坐标原点
处有一个火焰,
c任意一点处的温度与该点到原点的距离成反
(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿
什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点?
问题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方
向(即梯度方向)爬行.
王面圆下返
二、方向导数的定义
讨论函数z=∫(x,y)在一点P沿某一方向
的变化率问题
设函数z=f(x,y)在点
P(x,y)的某一邻域U(P)
内有定义,自点P引射线l
A Ax
设x轴正向到射线l的转角
为p,并设P(x+△r,y+Ay)°
王为上的另一点且P∈U(p).(如图)
e|PP'=p=√△x)2+(Ay)2
且△z=f(x+△x,y+y)-f∫(x,y)
考虑
当P沿着l趋于P时,
加mf(x+△x,y+△y)-f(x,y)是否存在?
定义函数的增量∫(x+△x,y+Ay)-f(x,y)与
PP两点间的距离P=√(△x)2+(4y)2之比值,
当P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在,
则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数
记为O°
=lim
f(x+Δ,y+△y)-f(x,y)
Olp→0
依定义,函数f(x,y)在沿着轴正向1=1,0
y轴正向2={0,的方向导数分别为∫,f,;
王沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是-f,f
王面圆下返
定理如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分
的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都
存在,且有9o
∫
=coSpp +sin p,
a ax
其中为轴到方向L的转角
证明由于函数可微,则增量可表示为
f(x+△x,y+Ay)-f(x,y)=△x+Ay+0(p)
y
两边同除以P,得到
王面圆下返
王f(x+△,y+△y)-f(x,y).Ax+0,A+(P)
故有方向导数
COS pp
af
lim /(x+Ar,J+ Ay)-f(x,y)
→0
af
ax
cos p+e sin
例1求函数乙=xe2在点P(1,0)处沿从点
P(10)到点Q(2,-1)的方向的方向导数
解这里方向即为PQ={1,-1,
故x轴到方的转角φ=-死
a
=e
=1;
=2re
(1
y
(1,0)
0)≈2,
所求方向导数
a
T
T
=c0s(-)+2sin(-=
2
例2求函数∫(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1)
牛沿与x轴方向夹角为z的方向射线的方向导数并
问在怎样的方向上此方向导数有
(1)最大值:(2)最小值;(3)等于零?
解由方向导数的计算公式知
af
al
f (1, 1)cos a+f(1, 1)sin a
(1,1)
(2x-y),, cosa+(2y-x)a
SIna
王面圆下返
=cosal+sin a=2 sin(a+"),
故(1)当o吓时,方向导数达到最大值、2
(2)当=沉时,方向导数达到最小值√2
(3)当s3n1时,方向导数等于0
4
王面圆下返
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数u=∫(x,y,z),它在空间一点
牛P(x,y,x)沿着方向L的方向导数,可定义
为
=limf(x+△,y+Ay,x+△x)-f(x,y,x)
p→0
(其中p=√(△x)2+(△y)2+(△z)2)