文档介绍：双曲线及其标准方程(第14讲)
双曲线及其标准方程
主要内容
1、 双曲线的定义
2、 双曲线的标准方程
学****指导
1、 双曲线的定义用集合表示为{P| I PFl|-|PF2||=2a, 2a>0, Fl、F2是定点, 2a<|FlF2|}e当2a=|FlF2时，点P的轨迹是两条射线(线段F1F2的反向延长线)。
当2a< F1F2|时，平面上的点P不存在。
称Fl、F2为双曲线的焦点，线段F1F2的长度为焦距，用2c表示。
2、 焦点在x轴上的双曲线，其标准方程为x2
a2 y2b2o 若记左焦点为 Fl 1 (a>0, b>0)
(-c, 0),右焦点为F2 (c, 0),贝iJ|PFl|>|PF2时，点P在双曲线右支上； |PF1|<|PF2|时，点P在双曲线的左支上。
焦点在y轴上的双曲线，具标准方程为y2
a2 x2b2,若记下焦点为 Fl (-c, 1 (a>0, b>0)
0),上焦点为F2 (c, 0),则|PF1|>|PF2|时，点P在双曲线的上支上；|PF1|<|PF2| 时，点P在双曲线的下支上。
三个正实数/ b, c恒满足c=a+b,应将它们的关系与椭圆相区别,椭圆中沪b+c, a>b, a>c, b与c无大小关系;双曲线中,c>a, c>b, a与b无大小关系。
3、 求双曲线的标准方稈与求椭圆标准方程的方法完全类似。一般分两步：(1)选标 准。判断焦点在哪根数轴上，还是两者均育可能；(2)定参数。途径一是待定系数法， 即解方程组的思想；途径二是定义法。222222
典型例题
y2x2
例1、就实数k的取值范|韦|,讨论方程 1表示的曲线。9 kk 3
解题思路分析：
关键是抓住椭圆及双曲线标准方程的特征，采川分类讨论的思想方法。
9 k 0当k 3 0, 3<k<6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
9 k k 3
9 k 0当k 3 0, 6<k<9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
9 k k 3
9k 0当k 3 0, k二6时，方程表示圆心在原点，半径为6的圆。
9 k k 3
9 k 0当，k<3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；k 3 0
9 k 0当，k>9时，方程表示焦点在y轴上的双曲线。k 3 0
注：在判断方程表示的曲线时，应至少交代焦点的位置特征，在方程表示椭圆时，还应 1注意圆的情形是否存在。
例2、求过点E (5, 0)且与圆F： (x+5)+y=36外切的圆的圆心P轨迹。
解题思路分析：
运川与圆有关的平面几何的性质寻找动圆圆心的几何等量关系。
设动圆圆心为「贝I」
由E在圆P上知,|PE|=r
由圆P与圆F外切知，|PF =r+6
消去参数r得:|PF|-|PE|=6
・••点P在以F、E为焦点的双曲线的一支上。
2a=b, a=3
又c=5
・•・b二4
x2y2
・•・所求双曲线的轨迹方程为，轨迹为该双曲线的右支。 1 (x》3) 91622
注：利用双曲线的定义解题是解决双曲线问题的一•个重要思想方法。木题利川定义求点 P轨迹方程，免去了很多繁琐的方程化简过程，希望同学们引起重视。
双曲线定义中的距离差含有绝对符号，木题没有，因此只表示双曲线的一支。
x2y2x2y2
例3、已知椭圆 1 (m>n>0)和双曲线 1 (s>0, t>0)有相同的焦点mnst
Fl、F2, P是两条双曲线的一个交点,求|PF1| |PF2的值。
解题思路分析：
当题设涉及到焦点的距离时,一般考虑用定义解题，避免用两点间距离公式，增加计算 的复杂程度。
当P在椭圆上，|PF1| + |PF2|二2m……①
当点P在双曲线上，I PF1|-|PF2||=2……②
①、②两式分别平方得：
22 |PF1 PF2 2|PF1||PF2| 4m 22 |PF1| |PF2| 2|PF1||PF2| 4s
两式相减得：
4|PF1||PF2 =4(m-s)
・・・ PF1| |PF2|=m-s
注：从计算的角度看，木题涉及到整体运算的思想，把IPF1I - |PF2|作为一个变量。 例4、焦点在x轴上的双曲线过点P (42, -3),且点Q (0, 5)与两焦点的连线互相垂 直，求此双曲线的标准方程。
解题思路分析：
用待定系数求标准方程。同时注意分析图形位置特征。
・・•两焦点Fl、F2关于y轴对称，点Q在y轴上
・・・AQF1F2为等腰百角三角形
・・・c=|0Fl| = |0F2| = |QA| (0为坐标原点)
・•・c=52
22
设双曲线方程x
a2 yb2 1
(42)2( 3)2
则 1
a2b2
a2 b2 25
・•・32