文档介绍：第八章
位移法
Displacement method
§8-1、位移法的基本概念
一、位移法的提出
从理论上讲,用力法可以分析各种(所有)超静定结构。困难是当未知量较多时,力法方程不易求解。这个困难对于计算工具落后(无电子计算机)的年代,是一个很难解决的问题。
上世纪初,在力法的基础上提出了位移法,位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架(多层多跨刚架)。
基本设想:几何不变体系在一定外因(荷载、支移、温改等)作用下,内力(反力)与变形之间恒有一定关系。
D
A
B
C
FP
D
A
B
C
FP
ΔC
θC
θD
ΔD
θC
θD
确定的内力确定的位移
对应
位移法:先确定结构的某些结点位移,再据此确定其内力。基本未知量为结点位移。
C
B
二、基本思路
EI=常数
FP
l/2
l/2
l
C
A
B
A
B
θB
FP
C
B
C
B
FP
=
+
θB
θB
θB
B
∑MB=0
MBA+M BC =0
分析上图所示刚架
刚架在荷载作用下,发生黄线所示变形。
其中,固端C,无任何位移;铰支端A,无线位移,只有铰位移;结点B,为刚结点,联结B结点的两杆杆端有相同的转角θB,忽略轴向变形,认为无线位移。
讨论:如何确定每根杆件的内力?
AB杆:可视为一端铰支,一端刚结的梁,在B端发生杆端转角θB
杆端弯矩: MBA=3EIθB /l (a)
(杆端弯矩对杆端顺时针为正)
BC杆:可将其视为两端刚结的梁,其上承受竖向荷载FP ,同时在B 端发生转θB。
其杆端弯矩可由两部分叠加而成:
M BC= -FPl /8+4EIθB /l (b)
同理: MCB = +FPl/8+2EIθB /l
由(a)、(b)式可见,如θB已知,则: MBA、 M BC 、MCB即可知,整个刚架的弯矩图即可画出。
因此,以θB为基本未知量,并设法求出,则各杆内力均可定出。
由平衡条件:
刚结点B处,杆端弯矩应满足平衡条件
∑MB=0 MBA+M BC =0
3EIθB /l – FPl /8+4EIθB /l =0 (c)
7EIθB /l – FPl /8 =0
θB=FPl2/56EI
将θB代入(a) (b)式,则:
MBA= 3EI/l · FPl2/56EI = +3FPl/56
M BC=-FPl/8+4EI/l · FPl2/56EI = - 3FPl/56
MCB=+FPl/8+2EI/L · FPl2/56EI = +9FPl/56
弯矩图如下图所示:
3FPl/56
9FPl/56
FP l /4
MBA= +3FPl/56
MBC= - 3FPl/56
MCB= +9FPl/56
由简例可见位移法的基本思路:
(1)、根据结构的几何条件(包括变形连续条件和边界支承条件)确定某些结点位移作为基本未知量。
(2)、把每根杆件视为单跨超静定杆,建立其杆端内力与杆端位移之间的关系。
(3)、根据平衡条件求解结点位移。
(4)、结点位移代入杆端内力公式解出最后内力。
整体结构
(变形协调)
拆
搭
(还原)
原结构
若干根杆件
(平衡条件)
三、需解决的问题
1、单跨(超静定)杆件在杆端发生各种位移作用下的杆端力,以及单跨杆在各种外因(包括荷载等因素)作用下的杆端力。
2、讨论结构上的哪些结点位移作为基本未知量。
3、位移法方程的建立及其求解。