文档介绍：第四章哈密顿力学(下)
1. Poisson括号的定义
设都是正则变量和时间t的任意足够光滑的函数:
则和的Poisson括号定义为: (1)(不同作者的定义可能相差一个符号)
【注意】求偏导数时,视作相互独立,求全导数时,视作的函数,即
ⅰ。,反对称性
ⅱ。,同样有: 其中均为常数。
ⅲ。双线性
一般的, , 均为常数。
ⅳ。
ⅴ。
ⅵ。, 对于有类似公式成立。
ⅶ。
ⅷ。
说明:iii、vi表示其某些和乘法类似的性质,但不满足交换律[参见(i)],也不满足结合律[参见(iv)]。
又:vii、viii表述了某些与量子力学有重要联系的性质。
。
(1)设一个力学体系的哈密顿量为,则任意光滑函数的全导数可以利用Poisson括号表示为: (2)
①若,即,则
②若,则,这意味着,能量守恒或广义能量守恒。
③取就得到(3)
这就是用Poisson括号表示的正则方程。
(2)定理:成为正则方程积分的充要条件为: (4)
证明:如果是正则方程的积分,则有利用(2)即得。
如果满足偏微分方程(4),即
则与之对应的常微分方程组,可表为
这正是正则方程。由引理(见下面)可知是正则方程的积分,
引理:连续可微函数为偏微分方程
(5)
(有连续导数,且不同时为零)的一个解的充要条件为:为常微分方程组
(6)
的一个积分。
证明:
对于任意连续可微函数,可计算,而对于等式, (0)
如果满足(5),而方程组(6)等价于
(6¢)
代入(5)得,即,则是(6)的积分。反之,如果是(6)的积分,那么必满足(6)。把(6¢)代入,得,即,则是偏微分方程(5)的一个解。
关于引理,我们还可以从另一个角度来理解。常微分方程组(6)即
由得,F=C要成为常微分方程组(6)的积分,应与(6)协调,即上述n+1个方程组成的线性齐次方程组,应有非零解,其充要条件为行列式
即,亦即F是偏微分方程(5)的一个解。
(3) 两个运动积分的泊松括号也是运动积分。即:如果和是正则方程的两个积分,那么也是正则方程的一个积分。(称为Poisson定理或Jacobi-Poisson定理)
有了Poisson定理,似乎只要有了两个积分,就能求出第三个,第四个……问题就解决了,其实不然。Poisson定理只提供了求第三个积分的方法,但未保证得到的积分是独立于已知积分的,非平庸的。因此问题远未解决。
(4)泊松括号在(单价)正则变换下保持不变,即
【例1 】时,正则方程有积分H=h.
如果已知另一个积分j(ps,qs,t)=C,那么[j, H]=C也是一个积分,事实上这个积分就是。
进一步可得,也是积分。若或常数,则新的积分是平庸的(只是恒等式).
【例2】 43页例题2(1),椭圆摆
有能量积分
有循环积分(水平方向动量守恒),py=C,,不能得到新的积分。
【例3】教材264页【例2】讨论了角动量,如果Jx=C1,Jy=C2是两个积分,那么Jz=C3也是一个积分。可以研究:
这个结论对质点组是否成立
这个结论可否推广为:如果角动量在某两个方向(不相同,也不相反)上的投影守恒,Ja=C1,Jb=C2,那么在任意方向的投影守恒。
—雅可比方程(积分Hamilton正则方程的Jacobi方法)
,以得到尽可能多的循环积分。最理想的情况是:经过正则变换,使新的哈密顿量,于是,,即所有新的正则变量都成为循环坐标,所以=常数,=常数。
利用由正则变换充分条件得到的
,,
于是得到正则变换的母函数应满足的偏微分方程
(1)
由于方程中只含未知函数的偏导数,不含未知函数本身,因此方程(1)可以改写为:
(1’)
其中(2)
方程(1)或(1’)称为Hamilton-Jacobi方程,称为Hamilton主函数。这是一阶偏微分方程,未知函数是共个自变量的函数,完全解应含有个常数,其中含有个常数,所以中有一个相加常数是理所应当的。
Hamilton主函数(积分限不确定的哈密顿作用量,因此又称哈密顿作用函数)的物理意义:
(7)
(7)式中的积分是不定积分(应含一个相加常数)。证明过程见教材266页。由证明过程可见,在积分时,应将拉格朗日函数中的视作的函数,(【注意】两者是不同的。)因此在解得正则方程之前,是无法具体求出的。(利用前式积分其中在积分过程中视作常数,但其中是的怎样的函数在解得正则方程之前是未知的,因此在解得正则方程之前,也是无法具体求出的。)(7)式不能作为H-J