文档介绍：第三章材料非线性 有限元分析
1 非线性弹性问题的有限单元法
2 弹塑性问题的有限单元法
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1 非线性弹性问题的有限单元法
前提:材料处于弹性状态,但是应力-应变关系是非线性的。位移和应变是微小的。因此
象线性问题一样,设位移和应变分别为
则全量形式的应力为
增量形式的应力为
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同线性问题分析一样,可得单元刚度方程为
进行先处理(定位向量)集成,可得
与线性问题不同,上式是非线性的方程组,因此要用第一章介绍的方法来求解。
1)切线刚度法——牛顿法
集成
非线性方程用牛顿法求解时,切线刚度矩阵为(这里认为)
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经整体集成后,可得整体切线刚度矩阵,由此可建立(自修正的)牛顿法迭代公式为
式中Rn是应力σn引起的结点力,因此
其中σn为第n步位移对应的非线性单元应力。
讲义上列出切线刚度法分析的计算步骤,这里不再赘述。()
因为R-Rn物理含义是不平衡力,所以牛顿法也可理解为按不平衡力修正位移,使不平衡力足够小。
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5) 由式()进行迭代,直到满足精度要求。
从此可得切线刚度法的计算步骤为:
1)设= ,求线弹性解;
2)由求各单元的应变、应力;
3)从计算单元切线刚度矩阵并集装;
4)计算并集装;
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2)应力转移、初应力法——修正牛顿法
为避免每次迭代形成切线矩阵并求解,以初始切线矩阵(即线弹性的刚度矩阵)迭代,则
这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的过程就是不断调整个单元的应力,使刚度弱的单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元或边界上,因此也称为“应力转移法”。它先求位移修正值,然后求下一迭代步的位移。
因为初始切线刚度矩阵,故
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式中
是第n步非线性位移对应的弹性应力。由此从修正牛顿法迭代公式可得
因为
非线性应力
所以若将视作“初应力”,并记
则
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它是不断修改初应力,使趋于一常量(弹性应力和真实应力之差)。因此也称初应力法。
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4) 由()求,反复迭代,直到足够小。
从讲义式()可得初应力法的计算步骤为:
1)  由集装初始切线刚度矩阵;
2) 由求线弹性的解;
3) 由计算各单元的,并集装;
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又设第n步单元非线性应力对应的弹性应变为
则非线性的应变可表为
残余(初)应变
式中也可视作“初应变”,由上式可得
因此单元刚度方程为
有些问题的本构关系是用应力表示应变,即
3)初应变法——修正牛顿法
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也即初应变可作为等效结点荷载考虑
由此,象初应力法一样,可得迭代公式为
因为它是不断修改初应变,使趋于一常量(总应变和弹性应变之差)。因此也称初应变法。其求解步骤如下页所示。
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为了更好地掌握上述知识,讲义上举了一个简单例子,用以说明切线刚度法和初应力法。
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