文档介绍：第七章空间问题的基本理论
§7-1 平衡微分方程
图7-1
在物体内的任意一点P,割取一个微小的平行六面体,它的六面垂直于从标轴,而棱边的长度为,图7-1。一般而论,应力分量是位置坐标的函数。因此,作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同,而具有微小的差量。例如,作用在后面的正应力是
,由于坐标改变了作用在前面的正应力应当是,余类推。由于所取的六面体是微小的,因而可以认为体力是均匀分布的。
首先,以连接六面体前后两中心的直线为矩轴,列出力矩的平衡方程:
略去微量以后,得
。
同样可以得出
只是又一次证明了切应力的互等性。
其次,以轴为投影轴,列出投影的平衡方程,得
由其余2个平衡方程,和,可以得出与此相似的2个方程。将这3个方程约简以后,除以,得
(7-1)
这就是空间问题的平衡微分方程。
§7-2 物体内任一点的应力状态
Z
n
C
现在,假定物体在任一点P的6个直角坐标面上的应力分量为已知,试求经过P点的任一斜面上的应力。为此,在P点附近取一个平面ABC,图7-2。当四面体PABC无限减小而趋于P点,平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。
σX
τXY
Pz
τYX
σY
Px
Py
τYZ
τZX
B
τXY
A
σX
Y
X
图7-2
命平面ABC的外法线为,其方向余弦为
。
设三角形ABC面积为,则三角形BPC,CPA,APB的面积分别为,,。四面体PABC的体积用代表。三角形ABC上的全应力在坐标轴上的投影用代表。根据四面体的平衡条件,得:
。(7-3)
。(7-4)
如果在S 面上作用面力,则面力和应力的关系式为:
(在上) (7-5)
其中是应力分量的边界值。这就是空间问题的应力边界条件,它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系
。
§7-3 主应力最大与最小的应力
设经过一点P的某一斜面上的切应力等于零,则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力,该斜面称为在P点的一个应力主面,而该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。
假设在P点有一个应力主面存在。这样,由于该面上的切应力等于零,所以该面上的全应力就等于该面上的正应力,也就等于主应力
。于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为
。
将式(7-2)代入,即得
(a)
此外还有方向余弦的关系式
。(b)
如果将式(a)与(b)联立求解,能够得出的一组解答,就得到P点的一个主应力以及与之对应的应力主面和应力主向。用下述方法求解,比较方便。
将式(a)改写为
(c)
这是的3个齐次线性方程。因为由式(b)可见不能全等于零,所以这三个方程的系数的行列式式等于零,即
用式代替,将行列式展开,得的三次方程
(7-6)
证明:在受力物体内的任意一点,一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。
。
。
1、体内的任意一点,三个互相垂直的面上的正应力之和是不变量(不随坐标系而变的量),并且等于该点的三个主应力之和。
2、三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力,而三个主应力中最小的一个就是该点的最小正应力。
3、又可见,在三个主应力相等的特殊情况下,所有各截面上的正应力都相同(也就等于主应力),而切应力都等于零。
4、最大与最小的切应力,在数值上等于最大主应力与最小主应力之差的一半,作用在通过中间主应力并且“平分最大主应力与最小主误码力的夹角”的平面上。
§7-4 几何方程及物理方程
1 几何方程
现在来考虑空间问题的几何学方面。在空间问题中,形变分量与位移分量应当满足下列六个方程,即空间问题的几何方程:
(7-8)
其中的第一式、第二式和第六式已在§2-4中导出,其余三式可用同样的方法导出。
此外,在物体的给定约束位移的边界上,位移分量还应当满足下列三个位移边界条件,即空间问题的位移边界条件:
(在上) (7-9)
此三式的等号左边是位移分量的边界值,等号右边是该边界上的约束位移分量的已知值。
2、几个重要概念
。
设有微小的正平行六面体,其棱边的长度为。在变形之前,它的体积是;在变形之后,它的体积将成为。
因此,它的每单位体积的体积改变,也就是所谓,
其公式为
由位移和形变量是微小的假定,可略去线应变的乘积项(更高阶的微量),则上式简化为
。(7-10)
将几何方程(7-8)中的前三式代入,得
。(7-11)
它表明体应变与位移分量之间的简单微分关系。
物理方程:
(7-14)
将上式的三个应变分量相加得:
设
为一个不变量
得空间问题的虎克定律:
上式的就称为
称为
第五节轴对称问题的基本方程