文档介绍：第三章弹性杆横截面上的正应力分析
——材料力学教案
学
时
6学时
基
本
内
容
应力、应变及其相互关系;杆件横截面上的正应力分析,正应力公式的应用(拉压杆横截面上的正应力,平面弯曲正应力,斜弯曲正应力)。
教
学
目
的
深入理解应力、应变的概念;熟练掌握虎克定律。
理解从变形协调、物性与静力学三方面分析由内力求应力的材料力学基本方法。
掌握横截面上正应力的一般表达式。
熟练掌握拉压杆横截面上正应力、平面弯曲正应力、斜弯曲正应力的计算与分布规律。
深入理解中性层和中性轴的概念。
重
点
和
难
点
重点:1)应力与应变的概念;虎克定律。
2)正应力的一般表达式。
3)、的分布规律与计算。
4)中性层与中性轴的概念。
难点:1)平面假设与变形协调方程。
2)正应力一般表达式的应用。
教
学
方法
利用简单模型教具演示平面假设以建立变形协调方程。
讲清正应力一般表达式中各代数量符号按坐标系确定,或根据由、、的实际方向在应力点所产生的的拉压性质确定。
应安排习题讨论课。
作业
1,7,9,11,15,16
弹性杆横截面上的正应力分析
应用平衡原理可以确定静定问题中杆件横截面上的内力分量,但内力分量只是杆件横截面上连续分布内力的简化结果。仅仅确定了内力分量并不能确定横截面上各点内力的大小。这是因为,在一般情形下分布内力在各点的数值是不相等的,因此,只有当内力在横截面上的分布规律确定之后,才能由内力分量确定横截面上内力在各点的数值。
内力是不可见的,但变形却是可见的,而且二者之间通过材料的物性关系相联系。因此,为了确定内力的分布规律,必须分析和研究杆件的变形,必须研究材料受力与变形之间的关系,即必须涉及变形协调与物性关系两个重要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法。
§3-1 应力、应变及其关系
考察图3-1中杆件横截面上的微小面积ΔA。假设分布内力在这一面积上的合力为ΔFR则称ΔFR/ΔA为这一微小面积上的平均应力。
当所取的面积趋于无穷小时,上述平均应力趋于一极限值。这一极限值称为横截面上一点处的应力)。这表明:应力实际上是分布内力在截面上某一点处的强弱程度,简称集度。
工程构件,大多数情形下,内力并非均匀分布,集度的定义不仅准确而且重要,因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。
y
x
z
ΔFQy
ΔFN
FP1
FP2
DFR
ΔFQz
ΔA
图3-1
ΔFQz
若将ΔFR分解为x、y、z三个方向上的分量ΔFRx、ΔFQy和ΔFQz,则根据应力定义,有
(3-1)
, (3-2)
式中,正应力σ垂直于横截面,称为正应力;τ位于横截面内,称为切应力。
应力单位为Pa,工程上常用Mpa。
若围绕受力弹性体中的任意点截取一微元体(通常为六面体),一般情形下微元体的各个面上均有应力作用。下面考察两种最简单的情形,分别如图3-2a、b所示。
不难发现,在正应力作用下,微元沿着正应力方向和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短,这种变形称为线变形。描写弹性体在各点处线变形程度的量,称为正应变或线应变,用表示:
(3-3)
式中,u为微元受力后相距dx的两截面沿正应力方向的相对位移。的下标表示应变方向。约定:拉应变为正;压应变为负。
在切应力作用下,微元将发生剪切变形,剪切变形程度用微元直角的改变量度量。微元直角改变量称为切应变,用表示。在图3-2b中, 。
的单位为rad。
对于工程中常用材料制成的杆件,实验结果表明:若在弹性范围内加载(应力小于某一极限值),对于只承受单方向正应力或承受切应力的微元,正应力与正应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系:
(3-4)
(3-5)
E和G与材料有关的常数:分别为弹性模量,和切变模量。式(3-4)和(3-5)即为描述线弹性材料物性关系的方程,均可称为胡克定律。所谓线弹性材料是指弹性范围内加载时应力-应变满足线性关系的材料。
§3-2杆件横截面上的正应力分析
考察杆件横截面上只有轴力FN、弯矩My和Mz作用的情形(为导出横截面上的正应力一般表达式,FN、My和Mz的指向与相应坐标轴正向相同),如图3-3a所示。对应于这些内力分量,杆件横截面上将有什么应力?这种应力在截面上又是怎样分布的?
不难看出,只有垂直于横截面的分布内力,经过简化才能得到上述内力分量。这表明此时横截面上只有正应力而没有切应力,并且正应力不会是均匀分布的。
平面假设与变形谐调方程
在FNx、My、Mz的共同作用下,杆件上dx微段的两截面将发生相对运动,产生位移。假定杆