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材料力学
第二十一讲
主讲教师:马军
第八章能量方法
利用功和能的概念来求解可变形固体的
位移、变形和内力等的方法,通称为能
量方法。
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第一节虚位移原理及单位力方法
对于一个处于平衡状态下的杆件,其外力和内力对任意给定的
虚位移所作的总虚功等于零,即
分别指的是外力和内力对虚位移所做的虚功
外力指的是荷载和支座反力,内力则为截面上各部分间的相
互作用力
以一简支梁为例,来说明推导梁的虚位移原理的表达式
下图所示简支梁上的外力荷载
和支座反力
。在给梁任意一个虚位移时,所有荷载作用点均有沿
其作用方向的相应虚位移
(图上未绘出)。两支座
A、B则不可能有虚位移,否则就与支座约束条件不符。因此,
梁上所有外力(包括荷载和支反力)对于虚位移所作的虚功为
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第一节虚位移原理及单位力方法
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再计算梁的内力对于虚位移所作的虚功,从梁中取出任一微段dx来
研究。作用在该微段左、右两截面上的内力分别为Q、Q+dQ和弯矩
M、M+dM。总虚功为
略去高阶无穷小项
和
,即得
第一节虚位移原理及单位力方法
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作用在微段左、右两截面上的M和Q,对于该微段而言应看作是
外力,所以, 为该微段的外力虚功,而该微段
的内力所作的虚功,则可按该微段的外力虚功,而该微段
的外力虚功与内力虚功之和应等于零的虚位移原理求得,即
可得
则整个梁的内力虚功为
将上两式代入虚位移原理公式,即得
第一节虚位移原理及单位力方法
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亦即
若所研究的对象不是仅有弯曲变形的梁,而是发生组合变形的梁,
其任意截面上的内力不仅有弯矩M和剪力Q,而且还有轴力N和扭
矩T,作用在杆上的荷载为,则此杆件的虚位
移原理表达式为
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虚位移原理应用条件
外力与内力满足静力平衡条件
设想的虚位移是满足原结构几何约束条件之任意微小位移,
它与原载荷引起之真实变形无关
上述分析过程中为涉及材料性质(物理性质),对其他非线弹
性问题同样适用
第一节虚位移原理及单位力方法
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对于杆系结构,既然如前所述只要满足支座约束条件,及各微段
间变形连续条件的任何微小位移,均可作杆件的虚位移,那么可
把实载作用下之真实位移及各微段两端的真实相对位移当作虚位
移。若要确定在实荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向或
转向的位移,就可以在该点处施加一个相应的单位力,将之视
为荷载,而由单位力所引起的杆件任一截面上的内力记为
。则杆件的虚位移原理表达式为
对于线弹性,在所研究的杆件中,由实际荷载引起的长为dx的微段
两端横截面的变形位移分别为
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