文档介绍：第十八章分析力学基础
沈阳建筑大学侯祥林
第十八章引言
第十八章分析力学基础
§18-3 动力学普遍方程
§ 18-4 拉格朗日方程
动力学普遍方程例题
拉格朗日方程例题
§ 18-1 自由度和广义坐标
§ 18- 2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
矢量力学: 解决质点和简单刚体
达朗伯原理: 静力学方法求解动力学问题;
虚位移原理: 动力学方法解静力学平衡问题;
达朗伯原理和虚位移原理结合将推出质点动力学普遍方程;拉格朗日方程; 解决非自由质点系的动力学问题
第十八章分析力学基础
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在空间:一个自由质点位置需要3个独立参数,即自由质点在空间有3个自由度。
在平面:需要2个独立参数,即质点有2个自由度。
受到运动约束:质点自由度数将减少。
完整约束:约束方程中不含速度项;
稳定(定常)约束:约束方程中不显含时间t
若具有n个质点的质点系,有s个完整约束方程:
§ 18-1 自由度和广义坐标
则:n个质点的质点系总自由度数为:
描述质点系在空间位置的独立参数,称广义坐标;
完整系统,广义坐标数目等于自由度数目。
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由无重刚杆与小球构成平面摆,做定轴转动,摆长为l,是具有1个质点的平面质点系,自由度为2,有1个约束方程:
用一个独立参数ψ表示。
若质点限定在半球面上运动,球半径为R,是具有1个质点的空间质点系,自由度数为3,有1个约束方程:
自由度数为:
通常用2个独立参数ψ和θ表示
自由度数为:
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用q1、q2、…qN表示质点系广义坐标:
对完整约束质点系,各质点坐标可表示为广义坐标的函数。
进行变分计算:
设n个质点组成质点系受s个双面约束
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为广义虚位移。虚位移用广义坐标表示。
同理:
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在虚位移原理中,以质点直角坐标的变分表示虚位移。
这些虚位移通常不独立,需要建立虚位移之间的关系。
若直接用广义坐标变分来表示虚位移,广义虚位移之间相互独立,虚位移原理可表示为简洁形式。
§ 18-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
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设:
则:
它的量纲由对应的广义虚位移而定。
为广义虚位移
称为广义力
δk为线位移, Qk 量纲是力的量纲;
δk为角位移, Qk 量纲是力矩的量纲。
由于广义坐标都是独立的,广义虚位移是任意的。
上式成立必须满足:
质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零
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质点系具有N个自由度,由N个广义力,则有N个平衡方程是互相独立的,可联立求解质点系的平衡问题。
大多数工程机构只有一个自由度,这只需要列出一个广义力等于零的平衡问题。
广义力求解方法有两种:
法1.
给质点系一个广义虚位移不等于零,而其它(N-1)个广义虚位移等于零。
法2.
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