文档介绍：第七章基本知识小结
⒈刚体的质心
求质心方法:对称分析法,分割法,积分法
⒉刚体对轴的转动惯量
平行轴定理: Io = Ic+md2 正交轴定理: Iz = Ix+Iy.
⒊刚体的动量和质心运动定理
⒋刚体对轴的角动量和转动定理
⒌刚体的转动动能和重力势能
⒍刚体的平面运动=随质心系的平动+绕质心系的转动
⒎静止刚体的平衡方程
(对任意轴)
,在圆盘平面内建立o-xy坐标系,原点在轴上,x和y轴沿水平和铅直向上的方向。边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上,该点的角坐标满足θ=+t2 (θ:rad,t:s)。⑴t=0时,⑵自t=0开始转45º时,⑶转过90º时,A点的速度和加速度在x和y轴上的投影
⑴t=0时,
⑵θ=π/4时,由θ=+t2,求得t=,∴ω=+2t=
x
A
y
o
, 螺旋桨尖端所在半径为150cm,发动机转速2000rev/min. ⑴桨尖相对于飞机的线速率等于多少?⑵若飞机以250km/h 的速率飞行,计算桨尖相对地面速度的大小,并定性说明桨尖的轨迹。
解:⑴桨尖相对飞机的速度:
⑵桨尖相对地面的速度:
飞机相对地面的速度与螺旋桨相对
飞机的速度总是垂直的,
桨尖相对地面的运动轨迹为螺旋线
在下面两种情况下求直圆锥体的总质量和质心位置。⑴圆锥体为匀质;⑵密度为h的函数:ρ=ρ0(1-h/L),ρ0为正常数
⑴圆锥体为匀质, ρ=C,
x
o
h
L
a
r
解:建立图示坐标o-x,据对称性分析,
质心必在x轴上, 在x坐标处取一厚为
dx 的质元,
长度为L的匀质杆,令其竖直地立于光滑的桌面上,然后放开手,由于杆不可能绝对沿铅直方向,故随即到下。求杆子的上端点运动的轨迹(选定坐标系,并求出轨迹的方程式)
x
o
y
解:设杆在o-xy 平面内运动,因杆在运动过程中,只受竖直向上的支承力和竖直向下的重力的作用,在水平方向不受外力作用, 据质心定理, acx= 0,∴vcx= 0, 即质心C无水平方向的移动,只能逆着y 轴作加速直线运动,直到倒在桌面上
取杆上端点的坐标为x,y,匀质杆质心在其几何中心,由
图示任一瞬间几何关系可知: 4x2 + y2 = L2 ( x≥0, y≥0 )
图示实验用的摆,l=,r=,ml=,mr=,近似认为圆形部分为匀质圆盘, 长杆部分为匀质细杆。求对过悬点且与盘面垂直的轴线的转动惯量。
l
r
o
解:摆对o轴的转动惯量I等于杆对o轴的转动
惯量Il 加上圆盘对o轴的转动惯量Ir ,即I=Il+Ir
根据平行轴定理:
匀质杆可绕支点o转动,当与杆垂直的冲力作用某点A时,支点o对杆的作用力并不因此冲力之作用而发生变化,则A点称为打击中心。设杆长为L,求打击中心与支点的距离
aC
x
y
N
F
mg
A
o
解:建立图示坐标o-xyz, z轴垂直纸面
向外,据题意, 杆受力及运动情况如图示
由质心运动定理:
由转动定理:
把⑴代入⑵中:
,,最初杆静止于铅直方向。一弹片质量为10g,以水平速度200m/s射出并嵌入杆的下端,和杆一起运动,求杆的最大摆角θ
解:将子弹、杆构成的物体系作为研究
对象,整个过程可分为两个阶段研究:
第一阶段,子弹与杆发生完全非弹性碰
获得共同的角速度ω,此过程时间极短,
可认为杆原地未动,在此过程中,外力
矩为零,角动量守恒,
第二阶段,子弹与杆以共同的角速度ω摆动到最大角度θ,
此过程中,只有重力做功,物体系的机械能守恒,物体系
原来的动能等于重力势能的增量:
m v
l M
θ
o
一质量为m1, 速度为 v1 的子弹沿水平面击中并嵌入一质量为m2=99m1, 长度为L的棒的端点, 速度v1与棒垂直,棒原来静止于光滑的水平面上, 子弹击中棒后共同运动,求棒和子弹绕垂直与平面的轴的角速度等于多少?
O
C
A
m2,L
v1
m1
解:以地为参考系,把子弹和棒看
作一个物体系,棒嵌入子弹后作平
面运动, 可视为随质心C的平动和绕
质心C的转动, 绕质心C转动的角速
度即为所求.
据质心定义:
据角动量守恒:
用四根质量各为m长度各为l的匀质细杆制成正方形框架,可绕其中一边的中点在竖直平面内转动,支点o是光滑的。最初,框架处于静止且AB边沿竖直方向,释放后向下摆动,求当AB边达到水平时,框架质心的线速度vc