文档介绍：第13章动能定理
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力的功
动能
动能定理
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势力场、势能、机械能守恒
综合应用
习题与思考题
本章内容
力的功
作用于质点上的力F在一段路程s上作的功,是此力沿路程的积累效应的量度,其大小等于力与其作用点位移的标积,以W记之。
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式中θ为力F与直线位移方向之间的夹角,在此段路程内力F为常量。功是代数量,其量纲为
dim [W]=[M][L]2[T]-2
功的国际单位符号为J(焦耳),等于1N的力在同方向1m的路程上作的功。
若质点M在任意变力F作用下沿曲线运动,。力F在无限小位移dr中可视为常力,经过的一小段弧长ds可视为直线,dr可视为沿点M的切线。在一无限小位移中力作的功称为元功,以δW记之。
质点M作曲线运动
力的功
根据式()有
力在全路程上作的功等于元功之和,即
不难看出,当力始终与质点位移垂直时,该力不作功。上式也可用解析表达式
1. 重力的功
设质点沿轨道由M1运动到M2,。其重力P=mg在直角坐标轴上的投影为
Fx=0,Fy=0,Fz=-mg
应用式(),重力作功为
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力的功
可见重力作功仅与质点运动开始和末了位置的高度差(z1-z2)有关,与运动轨迹的形状无关。
对于质点系,设质点i的质量为mi,运动始末的高度差为(zi1-zi2),则全部重力作功之和为
式中m为质点系总的质量,(zc1-zc2)为运动始末位置其质心的高度差。质心下降,重力作正功;质心上移,重力作负功。质点系重力作功仍与质心的运动轨迹形状无关。
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重力的功
力的功
式中负号表示当弹簧受拉(r>l0)时,
力F与矢径方向相反;反之,当弹簧受压
时(r<l0)时,力F与矢径方向相同。
2. 弹性力的功
,弹簧原长度为l0,质点A运动时,弹簧由于变形将在质点上作用一弹性力F,此力沿弹簧中心线,与A相对O点的矢径r重合。若运动过程中,弹簧的变形量(r-l0)在弹性极限内,则弹性力F的大小与其变形量成正比,即
弹性力的功
力的功
比例系数k称为弹簧的刚性系数(或刚度系数)。在国际单位制中,k的单位为N/m或kN/mm。
应用式(),点A由A1到A2时,弹性力作功为
由于
于是
或
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式()是计算弹性力作功的普遍公式。上述推导中轨迹可以是空间任意曲线,由此可见,弹性力的功只与弹簧始末位置的变形量δ有关,与力作用点A的轨迹形状无关。由式()可见,当δ1>δ2时,弹性力作正功;δ1<δ2时,弹性力作负功。
力的功
3. 力对轴之矩的功
,绕定轴转动的刚体。力F在作用点A处的微小位移中所作的元功为
力对轴之矩的功
式中R为力作用点到轴的垂距,dφ为刚体的转角, 为力在其作用点轨迹切线上的投影。由于,所以有
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即作用于刚体上的力在刚体微小转角上所作的元功等于该力对转轴之矩与微小转角的乘积。
力的功
于是力F在刚体从角φ1到φ2转动过程中作的功为
若力对轴的矩不变,则有
如果作用在刚体上的是力偶,则力偶所做的功仍可用上式计算,其中Mz为力偶对转轴z的矩,也等于力矩矢M在z轴上的投影。
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4. 平面运动刚体上力系的功
设有多个力作用于平面运动刚体上。取刚体的质心C为基点,当刚体有无限小位移时,任一力Fi对作用点Mi的位移为
其中drc为质心的无限小位移,dric为点Mi绕质心C的微小转动位移,。力Fi在点Mi位移上所作的元功为
力的功
平面运动刚体上力的功
如刚体无限小转角为dφ,则转动位移,大小为MiC·dφ。因此,上式后一项为
其中θ为力Fi与转动位移driC间的夹角,MC(Fi)为力Fi对质点C的力矩。力系全部力所作元功之和为
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其中F‘R为力系主矢,MC为力系对质心的主矩。刚体质心C由C1移到C2,同时刚体又由φ1转到φ2角度时,力系作功为
可见,平面运动刚体上力系的功就等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。这个结论也适用于作一般运动的刚体,基点可以是刚体上的任意一点。
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