文档介绍：因子分析模型与应用
1. 因子分析模型
设p维可观测的随机向量X = (X1，...，Xp)'（假定Xi为标准化变量，即E(Xi) = 0，Var(Xi) = 1，i = 1，2，…，p）表示为
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因子分析和主成分分析
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或 X = AF + ε
其中F1、F2、…、Fm称为公共因子，简称因子，是不可观测的变量；待估的系数阵A称为因子载荷阵，aij（i = 1,2,…,p；j = 1,2,…,m）称为第i个变量在第j个因子上的载荷（简称为因子载荷）；
ε称为特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足：cov(F,ε) = 0，即F，ε不相关；
D(F) = Im，即F1、F2、…、Fm互不相关，方差为1；D(ε) = diag(12,22,…,p2)，即ε1、ε2、…、εp互不相关，方差不一定相等，εi～N(0，i2)。
因子分析的目的就是通过模型X = AF + ε以F代替X，由于m < p，从而达到降维的愿望。
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因子分析和主成分分析
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2. 因子分析模型中的几个统计特征
(1) 因子载荷aij的统计意义
由Xi = ai1F1 +…+ aimFm + εi，两边同乘以Fj
E(XiFj)=ai1E(F1Fj)+…+aijE(FjFj)+…+aimE(FmFj)+E(εiFj)

从而有 ρij = E(XiFj) = aij
即载荷矩阵中第i行，第j列的元素aij是第i个变量与第j个公共因子的相关系数，反映了第i个变量与第j个公共因子的相关程度。在这种意义上公共因子解释了观测变量间的相关性。
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因子分析和主成分分析
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(2) 变量共同度的统计意义
因子载荷矩阵第i行的元素平方和：
称为变量Xi的共同度（i = 1，2，…，p）。
对Xi = ai1F1 +…+ aimFm + εi两边求方差：

显然，若因子方差hi2大，剩余方差i2必小。而hi2大就表明Xi对公因子的共同依赖程度大。可见hi2反映了变量Xi对公共因子F的依赖程度，故称hi2为变量Xi的共同度。
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因子分析和主成分分析
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(3) 公共因子Fj方差贡献的统计意义
因子载荷矩阵A中各列元素的平方和：
称为公共因子Fj对X的贡献，是衡量Fj相对重要性的指标，qj2越大表明Fj对X的贡献越大。
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因子分析和主成分分析
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3 金融时间序列中因子的类型
收益率时间序列
宏观经济因子：GDP , 通胀，失业率，收益率曲线的陡峭度等（或者这些变量的意外冲击----扰动项）
基本面因子：财务分析得到的变量
Fama-French方法(1992):市场收益率，企业规模，价值型/成长型（市场资产净值或市场资产净值/账面资产净值）
统计因子：数学过程得到的变量，主成分分析(PCA),
主因子分析
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因子分析和主成分分析
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1 因子载荷矩阵的估计
给定p个相关变量X1，...，Xp的观测数据阵X，由X = AF + ε易推出
∑ = AA' + D
其中∑ = D(X)为X的协方差阵，A = (aij)为p  m的因子载荷阵，D = diag(12，22，…，p2)为p阶对角阵。
由p个相关变量的观测数据可得到协差阵的估计，记为S。为了建立因子模型，首先要估计因子载荷aij和特殊方差i2。常用的参数估计方法有以下三种：主成分法，主因子法和极大似然法。
因子载荷矩阵的估计方法
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因子分析和主成分分析
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(1) 主成分法
设样本协方差阵S的特征值为λ1≥λ2≥…≥λp≥0，u1,u2,…,up，为对应的标准化特征向量，当最后p–m个特征值较小时，S可近似地分解为：
其中为pm阵，
，即得因子模型的一个解。载荷阵A中的第j列和X的第j个主成分的系数相差一个倍数（j = 1,…,m），故这个解称为主成分解。
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因子分析和主成分分析
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（2）主因子法
主因子方法是对主成分方法的修正，设R = AA' + D，则R* = R – D = AA'称为约相关矩阵，若已知特殊因子方差的初始估计，也就是已知变量共同度的