文档介绍：第三章 能量守恒定律
3 章
§ 功和能
动能定理
已知力是位矢函数 F(r),试求质点从 A点(r = rA)经过路径L到B点(r = rB)的速率v(rB)
牛顿第二定律: F(r) = mdv/dt
F(r)dr = (mdv/dt)dr = mdvdr/dt
= mvdv
= m(vxdvx + vydvy + vzdvz )
= mvdv
经过路径L: AB
LF(r)dr = VaVb mvdv
= mvB 2/2 - mvA2/2
3 章
LF(r)dr = mvB 2/2 - mvA2/2
1、功: dA = F(r)dr = Fds cos= Ft ds
A = LF(r)dr = L Ft ds
功率:P = dA/dt = F(r)dr/dt = F(r) v
2、动能:Ek= mv 2/2 = P2/2m (与参考系有关)
在SI制中功单位焦耳(J),功率单位瓦特(W)
动能和功的单位是一样的,但意义不同。功 Work 反映力的空间积累,其大小取决于过程,是个过程量;动能 ic Energy 表示物体的运动状态,是个状态量。
3 章
3、动能定理
质点: A = EkB - EkA
质点系: A外力+ A内力= Ek - Eko
其中 Eko 和 Ek 分别表示质点系的初态和末态总动能
3 章
例3-2 一弹簧放在水平位置上,如图所示,把质量为 m的质点向右移动一距离 L,然后释放。当质点离平衡位置的距离为 x 时,试求它的动能。
解:当弹簧伸长一距离 x 时,弹簧对质点的作用力: F = - kx ( k为倔强系数)
当质点被释放时,x=L,F= - kL,v0= 0,因而初动能为零。
F
m
0
X
k
x
3 章
令 v 表示在中间位置 x上的速率,把质点从 L 移至 x 时对质点所作的功为
A = Lx Fdx = Lx - kx dx
= k(L2 - x2)/2
根据动能定理可得:
mv2/2 - 0 = k(L2 - x2)/2
因此
上式表明,只要 x 的绝对值相同,速率便具有相同的值;也就是说,质点的运动对称于O点。在 x 处的速度 vx =±v,说明该处的质点可向左或向右运动。同时表明质点的运动将限于在 x = -L 和 x = +L 的范围内。
3 章
例 3-2 一链条总长为 L,质量为 m,放在桌面上,并使其下垂,下垂一端的长度为 a。设链条与桌面之间的摩擦系数为μ,令链条由静止开始运动,则(1) 链条离开桌面的过程中,摩擦力对链条作了多少功?(2) 链条离开桌面时的速率是多少?
解:设链条线密度为ρ= m/L
1、建立坐标 OX 轴,链条下
垂一端的长度为 x ,则
摩擦力:f =μρg(L - x)
O
L - x
x
X
f = μmg(L - x)/ L
摩擦力作功:Af = -∫aL f dx
= -∫aL μmg(L-x)/ Ldx
= -μmg(L-a)2 / 2L
2、重力作功:AG =∫aL mgx/Ldx
= mg(L2 -a2 )/ 2L
动能定理:Af + AG = mv2 / 2 - mvo2 / 2
因为 vo = 0
O
L - x
x
X
例3-1 一对作用与反作用力所作的功
设质点质量位矢位移作用力
1 m1 r1 dr1 F12
2 m2 r2 dr2 F21
其中 F12 为质点 2 对 1 的作用力
F21 为质点 1 对 2 的作用力
F12 和F21是一对作用和反作用力,由牛顿第三定律可知: F12 = - F21
这对作用和反作用力所作的功为: dA = F12 dr1 + F21 dr2
= F12 ( dr1 - dr2 )
= F12 dr12
3 章
dA= F12 dr12
上式表明:
一对作用和反作用力所作的功只与 F12 和相对位移 dr12 有关,而这两者都是不随参考系而变化的,由此得出结论:
任何一对作用力所作的功与参考系选择无关,而一般单个力所作的功与参考系有关。
3 章