文档介绍：运动学
第八章刚体的平面运动
    第六章讨论了刚体的两种基本运动--平动和定轴转动,本章将研究刚体的平面运动,分析刚体平面运动的简化与分解、平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度与加速度。
第一节 平面运动的概述和分解
一、平面运动的定义与简化
1. 平面运动的定义
    刚体运动时,若其上各点到某一固定平面的距离始终保持不变,则称刚体的这种运动为平面运动。刚体的平面运动是工程中常见的一种运动形式,例如图8-1a所示的车轮沿直线轨道的滚动,图8-1b所示的曲柄连杆机构中连杆AB的运动以及图8-1c所示的行星齿轮机构中动齿轮A的运动等。不难看出,平面运动刚体上各点的轨迹都是平面曲线(或直线)。
图8-1
2. 平面运动的简化
    设一刚体作平面运动,运动中刚体内每一点到固定平面Ⅰ的距离始终保持不变,如图8-2所示。作一个与固定平面Ⅰ平行的平面Ⅱ来截割刚体,得截面S,该截面称为平面运动刚体的平面图形。刚体运动时,平面图形S始终在平面Ⅱ内运动,即始终在其自身平面内运动,而刚体内与S垂直的任一直线A1AA2都作平动。因此,只要知道平面图形上点A的运动,便可知道A1AA2线上所有各点的运动。从而,只要知道平面图形S内各点的运动,就可以知道整个刚体的运动。由此可知,平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有各点的运动,即刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动。
图8-2
3. 平面图形的运动方程
    平面图形在其自身平面内运动时,共有三个自由度,设AB是平面图形上任一线段,可取xA、yA和φ为广义坐标,如图8-3a所示。平面图形运动时,xA、yA和φ都是时间t的函数,即
(8-1)
图8-3
这就是平面图形的运动方程,也就是刚体平面运动的运动方程。
二、平面运动分解为平动和转动
    由式(8-1)可知,若xA,yA保持不变,平面图形作定轴转动。若φ为常数,平面图形作平动。因此,平面图形可分解为平动和转动。
    在平面图形上任取一点A作为运动分解的基准点,简称为基点;在基点假想地安上一个平动坐标系Ax'y',当平面图形运动时,该平动坐标系随基点作平动,如图8-3a所示。这样按照合成运动的观点,平面图形的运动可以看成是随同动系作平动(又称为随同基点的平动)和绕基点相对于动系作转动这两种运动的合成,即
平面图形的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。其中"随基点的平动"是牵连运动,"绕基点的转动"是相对运动。
    基点的选择是任意的。因为一般情况下平面图形上各点的运动各不相同,所以选取不同的点作为基点时,平面图形运动分解后的平动部分与基点的选择有关;而转动部分的转角是相对于平动坐标系而言的,选择不同的基点时,图形的转角仍然相同。如图8-3b所示,选A为基点时,线段AB从AB0转至AB,转角为φA=φ,而选B为基点时,线段AB从BA0转至AB,转角为φB,从图上可见,φA=φB,即平面图形相对于不同的基点的转角相等,在同一瞬时平面图形绕基点转动的角速度、角加速度也相等。因此平面图形运动分解后的转动部分与基点的选择无关。对角速度、角加速度而言,无需指明是绕哪个基点转动的,而统称为平面图形的角速度、角加速度。
第二节 平面图形上各点的速度
一、速度基点法和速度投影定理
    平面图形的运动可以看成是牵连运动(随同基点A的平动)与相对运动(绕基点A 的转动)的合成,因此平面图形上任意一点B的运动也可用合成运动的概念进行分析,其速度可用速度合成定理求解。
    因为牵连运动是平动,所以点B的牵连速度就等于基点A的速度vA,而点B的相对速度就是点B随同平面图形绕基点A转动的速度,以vBA表示,其大小等于BAω(ω为图形的角速度),方向垂直于BA连线而指向图形的转动方向,如图8-4所示。
图8-4
    以vA和vBA为两邻边作出速度平行四边形,则点B的绝对速度由这个平行四边形的对角线所表示,即
(8-2)
    上式称为速度合成的矢量式。注意到A、B是平面图形上的任意两点,选取点A为基点时,另一点B的速度由式(8-2)确定;但若选取点B为基点,则点A的速度表达式应写为。由此可得速度合成定理:平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
    应用式(8-2)分析求解平面图形上点的速度问题的方法称为速度基点法,又叫做速度合成法。式(8-2)中共有三个矢量,各有大小和方向两个要素,总计六个要素,要使问题可解,一般应有四个要素是已知的。考虑到相对速度vBA的方向必定垂直于连线BA,于是只需再知道任何其它三个要素,即可解得剩余的两个未知量。
2. 速度投影定理
    定理同一瞬时,平面图形上任意