文档介绍：§6-2 近自由电子近似理论
这是能带理论中一个简单模型。该模型的基本出发点是晶体中的价电子行为很接近于自由电子,周期势场的作用可以看作是很弱的周期性起伏的微扰处理。仅管模型简单,但给出了周期场中运动的电子本征态的一些最基本特点。
这个模型的基本思想是:模型认为金属中价电子在一个很弱的周期场中运动(如图6-2-1),价电子的行为很接近于自由电子,又与自由电子不同。这里的弱周期场设为,可以当作微扰来处理,即:
(1)零级近似时,用势场平均值代替弱周期场V(x);
(2)所谓弱周期场是指比较小的周期起伏做为微扰处理。
为简单起见,我们讨论一维情况。
图6-2-1 单电子的周期性势场
零级近似下,电子只受到作用,波动方程及电子波函数,电子能量分别为:
……………………………………(6-2-1)
由于晶体不是无限长而是有限长L,因此波数k不能任意取值。当引入周期性边界条件,则k只能取下列值:,这里l为整数
可见,零级近似的解为自由电子解的形式,故称为近自由电子近似理论。
根据量子力学的微扰理论,可以知道:
零级近似
一级修正
二级修正
电子波函数
一级修正
零级近似
微扰理论重要公式
能量本征值
(6-2-2)
(6-2-3)
(6-2-4)
(6-2-5)
(6-2-6)
首先计算能量的一级修正:
…………………………………………(6-2-7)
因此有能量的一级修正为零,必须根据(6-2-4)计算二级修正:
因为……………………………(6-2-8)
代入波函数表达式并按原胞划分,可得:
…………………………………(6-2-9)
这里令,则,因此有:
……………………………………(6-2-10)
整理上式为:………………………………(6-2-11)
下面分为两种情况讨论:
(1)当时,有,则设
所以二级修正为:……………………………(6-2-12)
(2)时,有,则有
所以,在周期势场的情况下,计入能量的二级修正后晶体中电子的能量本征值为:
……………………………(6-2-13)
重要结论
1、能带与禁带
在零级近似中,电子作为自由电子,其能量本征值与k的关系曲线是抛物线,在周期势场的微扰下,曲线在处断开,能量突变值为,如图6-2-2所示。在诸能带断开的间隔内不存在允许的电子能级,称为禁带,禁带的位置及宽度取决于晶体的结构和势场的函数形式。
另一方面,对于波矢而言,N很大,故k很密集,可以认为是k的准连续函数,这些准连续的能级被禁带隔开而形成一系列能带1,2,3…。不难算出,每个能带所对应的k的取值范围都是2π/a,即一个倒格子原胞长度,而所包含的量子态数目是N,等于晶体中原胞的数目。
总体称为能带结构(n为能带编号),相邻两个能带与之间可以相接,重叠或是分开,对于一维周期性势场来说属于分开情况,则出现带隙——禁带。
图6-2-2 近自由电子近似能带图示
2、能带的图示
图6-2-3 一维能带结构简约区图示
从能量角度来看,可以将标志电子状态的波矢k分割成许多区域,在每个区域内电子能级E(k)随波矢k准连续变化并形成一个能带。波矢k的这样一些区域即为布里渊区。
根据图6-2-2,对应第一能带的k的取