文档介绍：模块五 平面向量
【知识网络】
5．1 平面向量的基本运算、坐标运算
【考点透视】
一、考纲指要
1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2．掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则。掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算。
3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5．掌握平面两点间的距离公式。
二、命题落点
1．考查向量的概念，向量加、减法几何运算及坐标运算。几何运算中要注意理解三角形法则，平行四边形法则；当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行。如例1和例2．
2．向量的线性运算是向量运算中的基本内容，也是考查中的重点内容，尤其是对向量共线的充要条件，及平面向量基本定理的考查。如例2、例3．
3．两个向量共线，或者三点共线问题。A、B、C三点共线的充要条件：存在实数λ，使得=λ。如例2和例4．
4．在许多解析几何、平面几何问题中，用向量来解决显得格外简捷，作为一种工具，要达到得心应手、随心所欲的程度，关键应夯实基础。解析几何解答题和向量综合呈现了新高考的崭新亮点，体现了向量知识的工具性和广泛的应用性，是高考命题的主流方向。如例5．
【典例精析】
例1：（2003·全面上不共线的3个点，动点P满足,则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析：本题考查向量的概念，向量加、减法运算的几何意义．
已知式可化为，令，则得，
∴ P的轨迹是∠BAC的平分线，所以P点通过△ABC的内心．
答案： B
例2：（2002·天津文）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）
A．3x+2y－11=0 B．（x－1）2+（y－2）2=5
C．2x－y=0 D．x+2y－5=0
解析：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法．
设=（x，y），=（3，1），=（－1，3），α=（3α，α），
β=（－β，3β）．
又α+β=（3α－β，α+3β），
∴（x，y）=（3α－β，α+3β），∴，
又α+β=1 ， 因此可得x+2y=5．
答案：D．
例3：（1997·全国）过原点O的直线与函数图象交于A、B两点，过A、B分别作轴的垂线交函数的图像于C、D两点，求证：O、C、D三点共线．
解析： 利用向量共线证明． 设、．
∵ 与共线 ， ∴ ，
又由题意知 ，，
即 ，．
∵
，
∴ 、共线 ， ∴ O、C、D三点共线．
利用向量证明三点共线，或者证明两条线段平行须分两步完成：①证明两个向量平行；②说明两个向量有公共点．
【常见误区】
1．正确处理几个问题：
（1）正确区分向量与实数a、与0．
（2）正确区分向量运算与实数运算．
2．向量运算，要注意向量的方向不能搞错。如三角形中两边对应向量已知，求第三边所对应的向量时，利用向量加减法的三角形法则实施求解，一定要注意向量的方向．
3．平面向量的运算表现在两个方面，向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题．只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应选用哪一种运算要根据实际情况来定。在坐标运算中，合理地选择坐标系有利于优化解题过程．
【基础演练】
1．（2006·全国）已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．(2005·山东)已知向量，且，，则一定共
线的三点是 （ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
3．（2005·全面上作匀速直线运动，速度向量(即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位)．设开始时点的坐标为，则5秒后点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2005·全分线与相交于，那么有，其中等于 （ ）
A． 2 B． C． D．
5．（2005·全国）已知向量，且A、B、C三点共线，
则k= ．
6．（2005·全国Ⅰ）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m = ．