文档介绍：函数项级数一致收敛性和非一致收敛性判别法归纳
一定义
引言
设函数列和函数定义在同一数集上, 若对任给正数, 总存在某一正数, 使适当初, 对一切, 全部有

则称函数列在上一致收敛于, 记作
,
设是定义在数集上一个函数列, 表示式
称为定义在上函数项级数,简记为或; 称
, ,
为函数项级数部分和函数列．
设数集为函数项级数收敛域, 则对每个, 记, 即, 称为函数项级数和函数, 称为函数项级数余项．
定义1　设是函数项级数部分和函数列, 若在数集上一致收敛于函数, 或称函数项级数在上一致收敛于, 或称在上一致收敛．
因为函数项级数一致收敛性是由它部分和函数列来确定, 所以能够依据函数列一致收敛性定义得到等价定义．
定义2　设是函数项级数部分和函数列, 函数列, 和函数全部是定义在同一数集上, 若对于任给正数, 总存在某一正整数, 使适当初, 对一切, 全部有, 则称函数项级数在上一致收敛于函数, 或称在上一致收敛．
同时由, 故在上一致收敛于0．
定义3　设函数项级数在区间上收敛, 其和函数为, 部分和函数列, 若, , 及, 使得, 则函数项级数在区间上非一致收敛．
例1　试证在上一致收敛, 但在内不一致收敛．
证实　显然在内收敛于．
对任意, 欲使当和时, 恒有
成立,只要当初,恒有
成立,只要当初,恒有
　　　　　　　　
成立,只要当初, 恒有

成立, 只要取即可．依定义, 在上一致收敛于．
存在, 对任意自然数, 全部存在和, 使
成立, 依定义, 在内不一致收敛．
二函数项级数一致收敛性判定方法
定理1　Cauchy一致收敛准则
函数项级数在数集上一致敛充要条件为:
对, 总, 使适当初, 对一切和一切正整数, 全部有
　　　　　　　　　　　　
或　　　　　　　　
或　　　　　　　　　　　　　
尤其地, 当初, 得到函数项级数一致收敛一个必需条件:
推论1　函数项级数在在数集上一致收敛必需条件是函数列在
上一致收敛于．
定理2 函数项级数在点集上一致收敛于充足必需条件是:
　　　　　．
定理3　放***
是函数项级数部分和函数列,和函数,全部是定义在同一数集上,对于任意,存在数列,使得对于,有,且
,则称函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于函数.
证实　因,故对任给,(和无关),使适当初,对一切,,即函数项级数在上一致收敛于.
注:用放***判定函数项级数一致收敛性时,需要知道.
定理4　确界法
函数项级数在数集上一致收敛于充要条件是

证实　充足性　设是函数项级数部分和函数列, 为和函数,则有, 并令, 而, 即,由定理3(放***)得悉函数项级数一致收敛于函数.
必需性
注: 实质上是用极值方法把一致收敛问题转化为求数列极限问题．
定理5　若在区间上收敛,则在上一致收敛充要条件是,有.
证实　充足性　假设在上不一致收敛,则,,使得,如此得到,但,这和已知条件矛盾.
必需性　因已知在上一致收敛,所以,使适当初,对一切,全部有,对于,则有,即,得.
例2　设, , 在上连续, 又在收敛于连续函数, 则在一致收敛于．
证实　已知（其中）是单调递减且趋于0, 所以有, 且>0,时,有.
将固定,令,因为在上连续,既然,所以,当初, .从而时更有即,仅当.
如上所述,对每个点,可找到对应领域及对应,使得时,对恒有.
如此{:}组成一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{},于是,总使得),取,那么时,恒有,由定理5得在一致收敛于.
定理6　判别法或优先级判别法或Weierstrass判别法
设函数项级数定义在数集上,为收敛正项级数,若对一切,有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
则函数项级数在上一致收敛.
证实　由假设正项级数收敛,依据函数项级数Cauchy准则,,某正整数,使适当及任何正整数,有又由(3)对一切,有
依据函数项级数一致收敛Cauchy准则,级数在上一致收敛.
注:若能用从判定一致收敛,则必是绝对收敛,故判别法对条件收敛函数项级数失效.
例3　函数项级数在上一致