文档介绍：爱森斯坦判别法是现在为止用来判定内一个多项式可约是否最好结果。
爱森斯坦判别法设给定次本原多项式

假如存在一个素数, 使, 但, 则在内不可约。
证实: 用反证法。设在内可约, 即
,
其中

这里。为方便计, 下面式子中多项式系数下标大于其对应多项式次数时, 均认为等于零。
因为, 而, 故。
其次, , 而, 故或; 不妨设, 此时因, 故。
设, 但。此时, 而

括号中各项均含有因子, 故。但, 为素数, 矛盾。由此,
在内不可约。
爱森斯坦判别法是现在为止用来判定Z[x]内一个多项式可约是否最好结果。
　艾森斯坦判别法是代数定理, 给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积充足条件。由高斯定理, 这判别法也是多项式在有理数域不可约充足条件。
　　艾森斯坦判别法是说: 给出下面整系数多项式
　　假如存在素数p, 使得
p不整除an , 但整除其它ai ; p^2 不整除a0 , 那么f(x) 是不可约。

编辑本段[编辑] 例子
　　给了多项式g(x) = 3x4 + 15x2 + 10, 试确定它能否分解为有理系数多项式之积。
　　试用艾森斯坦判别法。素数2和3全部不适合, 考虑素数p = 5。 5整除x系数15和常数项10, 但不整除首项3。而且52 = 25不整除10。所以g(x)在有理数域不可约。
　　有时候不能直接用判别法, 或能够代入y = x + a后再使用。
　　比如考虑h(x) = x2 + x + 2。这多项式不能直接用判别法, 因为没有素数整除x系数1。但把h(x)代入为h(x + 3) = x2 + 7x + 14, 可立即看出素数7整除x系数和常数项, 但72 = 49不整除常数项。所以有时经过代入便能够用到判别法。
　　艾森斯坦判别法得出一个著名结果以下:
　　对素数p, 以下多项式在有理数域不可约。
　　。要使用艾森斯坦判别法, 先作代换x = y + 1。新常数项是p, 除首项是1外, 其它项系数是二项式系数, k大于0, 所以能够被p除尽。
编辑本段[编辑] 初等证实
　　对多项式f(x)取模p, 也就是把它系数映射到域上。这么它便化为, 其中c为非零常数。因为在域上多项式有唯一分解, f在模p上会分解为单项式。
假如f是在有理数上可约, 那么会有多项式g, h使得f = g h。从上可知
g和h取模p分别为和, 满足c = d e。因为g和h模p常数项为零, 这表示g和h常数项均可被p整除, 所以f常数项a0能够被p2整除, 和f系数假设矛盾。所以得证
试以Q、 R、 C为系数域, 叙述多项式因式分解和多项式根关系
。首先, 多项式因式分解是由其根决定。
Q为有理数域, 有理系数多项式均等价于一整系数多项式; R为实数域, 实系数多项式通常不等价于整系数多项式, 因为系数通常含无理数; C为复数域, 复系数多项式系数通常含虚数, 所以解通常为虚数。
依据根数域: 同一多项式进行因式分解或求根, 解个数C>R>Q, 因为: n次多项式复数域上求解必有n个复根（无重根）; 实数域上求解通常小