文档介绍：爱森斯坦判别法在判断根时的条件爱森斯坦判别法在判断根时的条件爱森斯坦判别法在判断根时的条件爱森斯坦判
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爱森斯坦判别法是目前为止用来判断内一个多项式可约与否的最好结果。
爱森斯坦判别法设给定次本原多项式

如果存在一个素数，使，但，那么在内不可约。
证明：用反证法。设在内可约，即
，
其中

这里。为方便计，下面式子中多项式的系数的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。
因为，而，故。
另一方面，，而，故或；不妨设，此时因，故。
设，但。此时，而

括号中各项均含有因子，故。但，为素数，矛盾。由此，
在内不可约。
爱森斯坦判别法是目前为止用来判断Z[x]内一个多项式可约与否的最好结果。
　艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。
　　艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式
　　如果存在素数p，使得
p不整除an ，但整除其他ai ； p^2 不整除a0 ，那么f(x) 是不可约的。

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编辑本段[编辑] 例子
　　给了多项式g(x) = 3x4 + 15x2 + 10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。
　　试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合，考虑素数p = 5。5整除x的系数15和常数项10，但不整除首项3。而且52 = 25不整除10。所以g(x)在有理数域不可约。
　　有时候不能直接用判别法，或者可以代入y = x + a后再使用。
　　例如考虑h(x) = x2 + x + 2。这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除x的系数1。但把h(x)代入为h(x + 3) = x2 + 7x + 14，可立刻看出素数7整除x的系数和常数项，但72 = 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。
　　艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下：
　　对素数p，以下多项式在有理数域不可约。
　　。要使用艾森斯坦判别法，先作代换x = y + 1。新的常数项是p，除首项是1外，其他项的系数是二项式系数，k大于0，所以可以被p除尽。
编辑本段[编辑] 初等证明
　　对多项式f(x)取模p，也就是把它的系数映射到域上。这样它便化为，其中c为非零常数。因