文档介绍：1 目录上页下页返回结束二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第二节数列的极限第一章 2 目录上页下页返回结束 r 一、数列极限的定义}{ nA?? n r的圆, ?n 如图所示, 可知? nAnnn r ?? cos sin 2),5,4,3(??n当 n 无限增大时,nA 无限逼近 S 怎样由多边形的面积精确第一章第二节(刘徽割圆术)记为 nnAS ??? lim 称S为数列当时的极限, nAS?描述圆面积 S? 取定 n 极限方法: 为精确描述实际中的量而引入的一种方法 3 目录上页下页返回结束极限的数学定义引例用式子描述: .1 )1( 无限接近于 n nx nn???无限增大时, n )1(n nx nn???解即只要充分大, n. 11 就可以变得任意小 n x n??具体说: ,100 111???n x n 要使;100 ?n 只要,1000 111???n x n 要使;1000 ?n 只要简而言之: ,1??? nx 要使, 只要 Nn?即, 任意给定正数?; 1??N 存在时, 当Nn?,1??? nx 表示任意给定的正数, 其中?? 1?N 4 目录上页下页返回结束定义:自变量取正整数的函数称为数列, 记作)(nfx n?或??. nx nx 称为通项(一般项) . 若数列?? nx 及常数 a 有下列关系:,0???,N 正整数?当n >N时, 总有记作此时也称数列收敛, 否则称数列发散. 几何解释: a??a ??a ) (即),(?ax n??)(Nn? ax nn??? lim 或)(???nax n 1?Nx 2?Nx???ax n 则称该数列?? nx的极限为 a , 第一章第二节.)( ,),( , 落在其外个至多只有个只有前面有限内都落在所有的点时当N aa xNn n????? 5 目录上页下页返回结束例如,??,1 ,,4 3,3 2,2 1?n n1??n nx n)(1???n??, )1(,,4 3,3 4,2 1,2 1n n n???n nx nn 1)1( ????)(1???n??,2,,8,4,2 nnnx2?)(????n??,)1(,,1,1,1 1??? n1)1( ??? nnx 收敛发散第一章第二节. lim 不存在 nnx ?? 6 , )1(n nx nn???证明数列?? nx 的极限为 1. 证:??1 nx1 )1(???n n nn 1?欲使,1??? nx 即, 1??n 只要? 1?n,0???因此, 可取,] 1[??N 则当 Nn?时, 就有,1 )1(?????n n n 故1 )1( lim lim ????????n nx nn nn ??????????????axNnNNax n nn 恒有时当,,,0 lim 找到定义中的一个 N,用倒推法: ,???ax n 要使????n 只要分析 7 ,)1( )1( 2???n x lim ??? nnx 证:??0 nx 0)1( )1( 2???n n2)1( 1??n1 1??n,)1,0(???欲使,0??? nx 只要,1 1???n 即?n 可取,]1 1[??? N 则当 Nn?时, 就有,0??? nx 故0)1( )1( lim lim 2????????n x nn nn,0 11 1nn nx????故也可取][ 1??N 也可由 2)1( 10 ??? n nx .1 1?? N与?有关, N . 说明:取?? 1 1???N 第一章第二节因此, 适当扩大, ,1?q 证明等比数列??,,,,,1 12?nqqq 证:0? nx 0 1???nq,)1,0(???欲使,0??? nx 只要, 1???nq 即可取????????q N ln ln1 ?, 则当 n > N时, 就有????0 1nq 故0 lim 1???? nnq . ln ln1q n ???的极限为 0 . 1?? nq 因此, 第一章第二节 9 目录上页下页返回结束??2 3ba ab22 abn abax ??????二、收敛数列的性质证: nn??? lim 及, lim bx nn????取, 2 ab???因, lim ax nn???故存在 N 1 , , 2 abnax ???从而 2 banx ??同理, 因, lim bx nn???故存在 N 2 , 使当 n > N 2 时, 有 2 banx ?? 1. n