文档介绍：1 目录上页下页返回结束二、函数的间断点一、函数连续性的定义第八节函数的连续性与间断点第一章 2 目录上页下页返回结束 0x )(xfy?xo y 0xx x? y?,0 lim 0????y x?0x )(xfy?x 0??x y?定义: 自变量的增量函数的增量 0xxx???.)()( 0xfxfy???注意: Δx可正、可负、不可为零Δy可正、可负、可为零)()( 00xfxxf???? 3 目录上页下页返回结束0 )]()([ lim 000??????xfxxf x)()( lim 0 0xfxf xx??,0???,0???当?????xxx 0时, 有?????yxfxf)()( ).()()( 000xfxfxxf???左连续在点).()()( 000xfxfxxf???右连续在点在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续??又右连续, 点既左连续在点连续在显然,, 00xxxf?在区间上每一点都连续, 叫做在该区间上连续. 连续的三种定义方式 4 目录上页下页返回结束.],[baC 例如,nnxaxaaxP????? 10)( 在),(????上连续. ( 有理整函数) 又如,有理分式函数)( )()(xQ xPxR?在其定义域内连续. 在闭区间],[ba 上的连续函数的集合记作第一章第八节)46 )()( lim ( 0 0 第五节见Pxfxf xx???xy sin ?在),(???? cos ?在),(????内连续.) P62 0 )]()([ lim ( 0 本节见??????xfxxf x? xy?在),0(??内连续.)534 lim ( 0 0例定义成立见的Pxx xx?????? 5 xy sin ?在),(????内连续. 证:),(??????xxxxy sin ) sin( ?????) cos( sin 2 22 xxx ????) cos( sin 2 22 xxxy ?????12 2???xx?? 0??x 即0 lim 0????y x 这说明 xy sin ?在),(????内连续. 同样可证: 函数 xy cos ?在),(???? 第一章第八节 6 目录上页下页返回结束第一章第八节二、函数的间断点 0x 在点)(xf 连续:)()( lim 0 0xfxf xx??在在(1) 函数)(xf 0x (2) 函数)(xf 0x )( lim 0xf xx?不存在; (3) 函数)(xf 0x )( lim 0xf xx?存在,但)()( lim 0 0xfxf xx??不连续: 0x设 0x在点)(xf的某去心邻域内有定义, 则下列情形这样的点 0x 之一函数 f (x ) 在点虽有定义, 但虽有定义, 且称为间断点. 在无定义; 7 目录上页下页返回结束间断点分类: 第一类间断点: )( 0 ?xf及)( 0 ?xf均存在, ,)()( 0 0 ???xfxf若称 0x,)()( 0 0 ???xfxf若称 0x第二类间断点: )( 0 ?xf及)( 0 ?xf中至少一个不存在,称 0x若其中有一个为振荡,称 0x若其中有一个为,?. 第一章第八节 8 目录上页下页返回结束xy tan )1(? 2 ??x为其无穷间断点. 0? y 1 sin )2(? 1? 1)3( 2???x xy x o y1xy tan ? 2 ?x yox yx y 1 sin ?0 第一章第八节例如: 补充???x x tan lim 2 ???21 1 lim 21????x x x????处连续则函数在定义 1,21??xf 9 目录上页下页返回结束 1)1(1)( lim 1fxf x??? 1?x为其可去间断点. ?????????1, 1,)( 2 1x xxxfy (4) x o y 2 11 (5) ????????????0,1 0,0 0,1)(xx x xxxfy x yo 11?,1)0(???f 1)0(??f0?x为其跳跃间断点. 第一章第八节??处连续则函数在定义 1,11??xf 改变 10 目录上页下页返回结束?? xx xxf n nn 2 21 1 lim ????????????????1 ,1,0 ,1,xx x xx ,1时?x 解., 判断其类型点 P65:4 1?,1时?x n nnx x 2 21 1 lim ????1 1 1 1 lim 2 2?????n nnx x1??,1时?x01 1