文档介绍：丹尼尔伯努利，1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。受父兄影响，一直很喜欢数学。1724年，他在威尼斯旅途中发表《数学练****引起学术界关注，并被邀请到圣彼得堡科学院工作。同年，他还用变量分离法解决了微分方程中的里卡提方程。1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授。1727年，20岁的欧拉(后人将他与阿基米德、艾萨克·牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”)，到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。
伯努利生平
伯努利试验
2021/1/11
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是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。
这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件A要么发生，要么不发生。并且每次发生的概率都是相同的。
判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响。
伯努利试验概念：
伯努利试验特征：
如何判断伯努利试验：
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伯努利试验应用条件：多为计算独立重复试验中，事件恰好发生的概率
伯努利试验公式：①如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立的重复试验中这个事件恰好发生k次的概率记作Pn(k)，则C（n，k）p的K次方（1-P）的n-K次方
有关伯努利试验的求解 :
在n重伯努利试验中主要考察两类事件的概率：
( 1 )事件A在第K次试验中首次“发生”的概率；
( 2 )n次试验中事件A恰有K次“发生”的概率；
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在n重伯努利试验中，设P(A)=p, (其中0<p<1)，则
( 1 )事件A在第K次试验中首次“发生”的概率为
( 2 )n次试验中事件A恰有K次“发生”的概率为
.
.
(K=0,1,2,…,n.)
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独立重复试验的特点：
1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；
2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。
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图钉扔出后，哪种情况出现的可能性大？
为了研究这个问题，2003年北京市某学校高一（5）班的学生做了如下试验：
在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察“钉尖朝上”出现频率的变化情况。
（1）每人手捏一枚图钉的钉尖、钉帽在下，。
（2）重复200次，记录下“钉尖朝上”出现的次数。
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下图是汇总这个班上六位同学的数据后画出来的频率图。
观察上图，在大量重复试验的情况下，出现“钉尖朝上”的频率会呈现出稳定性，即频率在一个“常数”附近摆动。随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势。有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离“常数”大的可能性越小。
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投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-，仅出现1次针尖向上的概率是多少？
连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验。用表示第i次掷得针尖向上的事件，用表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则
由于事件彼此互斥，由概率加法公式得
所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是
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伯努利试验在实际中的应用
伯努利(Bernoulli)试验是一种非常重要的概率模型,它是“在同样条件下进行重复试验”,伯努利概型是概率论中最早研究的模型之一,在理论上具有重要意义,并且在工业产品质量检验、群体遗传学等方面都具有广泛的实际应用.
由伯努利试验、n重伯努利试验和推广的伯努利试验,不难得出下列几种概率分布：伯努利分布、二项分布、几何分布、帕斯卡分布及多项分布。
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母鸡下蛋问题
在一群母鸡中,每只母鸡的年产蛋量可以用泊松分布来描述:把一年时间T分成n等分,取n充分大,每一个等分的间隔△t=T/n充分小,于是在△t的时间内,母鸡或者下一个蛋,或者不下蛋,设在△t的时间内下一个蛋的概率为p,并且在各个时间间隔内是否下蛋假定是相互独立的,这就构成了一个伯努利概型,于是在一年中下k个蛋的概率就是B(k;n,p)，泊松定理得: