文档介绍：-奇数和偶数
整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用 2k表示，奇数可用2k+l 表示，这里k是整数.
关于奇数和偶数，有下面的性质：
（1） 奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；
（2） 奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；
（3） 两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；
（4） 若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；
（5） n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2"的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘 积是偶数.
以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜
代数式中的奇偶问题
例1 （第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那 么这12个整数中，至少有几个偶数？
+□二口， □ - □二口，
*□二口 □ + □ = □•
解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这 12个整数中至少有六个偶数.
例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组
a -L988j -w
llx + 27八=/«
旳咸十
1/ =g
是整数，那么
(A) p、q都是偶数. (B) p、q都是奇数.
(C p是偶数，q是奇数 (D p是奇数，q是偶数
分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y,所以p是偶数，将其代入第二方程 中，于是llx也为偶数，从而27y=m-llx为奇数，所以是y二q奇数，应选(C)
例3在1, 2, 3-, 1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数•
分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同， 所以在题设数字前面都
添上正号和负号不改变其奇偶性，而 1+2+3+・・・+1992二 】 -996X 1993为
偶数于是题设的代数和应为偶数•
与整除有关的问题
例4 (首届“华罗庚金杯”决赛题)70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每 个数的3 倍都恰好等于它两边两个数的和， 这一行最左边的几个数是这样的：0, 1,
8, 21,…•问最右边的一个数被6除余几？
解 设70个数依次为ab a 2, a 3据题意有
Qi-0, 偶
&2二1 奇
33—3d 2—a i,
a 3&3—a2, 偶
as—3d i—d3, 奇
&6—3ds—a4, 奇
由此可知：
当n被3除余1时，亦是偶数；
当n被3除余0时，或余2时，缶是奇数，显然*'是3k+l型偶数，所以k必须是 奇数， 令 k二2 n+1,则 a7o=3k+l=3 (2 n+l)+l=6 n+4.
解 设十位数，五个奇数位数字之和为a,五个偶数位之和为
b (10 < a< 35, 10 < b< 35),贝 V a+b二45,又十位数能被 11 整除，则 a~b 应为 0, 11, 22 (为什么？)・由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此犷b二11即沪28, b二17.
要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876,由于偶数位五个数字之和是17,现在8+6二14, 偶数位其它三个数字之和只能是 17-14二3,这三个数字只能是2, 1, 0.
故所求的十位数是9876524130.
例6 (1990年日本高考数学试题)设b是自然数，且有关系式
123456789二(11111+a) (Ulll-b), ①
证明a-b是4的倍数・
证明由①式可知
11111 (a-b )二ab+4X 617 ②
•/a>0, b >0, r. a ~b >0
首先，易知a-b是偶数，否则11111 (a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b都 是奇数，可知(11111+a)及(11111 -b)都为偶数，这与式①矛盾
其次，从rb是偶数，根据②可知訪是偶数，进而易知&、b皆为偶数，从而ab+4X617是 4的倍数，由②知a-b是4的倍数.
例7 (第10届全俄中学生数学竞赛试题)在3X3的正方格(a)和(b)中，每格
填“ 或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次 这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表・
解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：
在黑板所示的2X2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“ +”号或者不变，或 者变成 两个・
F
—
j
=1
L
+1
+
■
-1
+
@)
<b)
表G）中小正方形有四个“ +”号，实施变号步骤后，“ 的个数仍是偶数；但表山）中
小正方