文档介绍：插值法 - 中原工学院
2021/1/15
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分段插值
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化．
然后把它们装配在一起，作为整个区间
上的插值函数，即称为分段多项式．
一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，
先将所考察的区间作一分划
并在每个子段上构造低阶插值多项式;
如果函数在分划的每个子段上都是
次式，则称为具有分划的分段次式．
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分段线性插值
结论：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x)，且
|f″(x)| ≤m ,记：h = max |xi+1-xi|,就有估计：
|f(x)-S1(x)|=|R(x)| ≤ mh2/8， x∈[a,b]．
在每个子段上都具有如下表达式：
h 随分段增多而减少，分段法提高精度是很好的途径
满足条件
具有分划的分段一次式
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分段线性插值曲线图
分段低次插值，
具有计算简便，
收敛性有保证，
数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线的光滑性
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分段抛物插值
这种分段的低次插值叫分段二次插值，
在几何上就是用分段抛物线代替 y=f(x) ，
故分段二次插值又称分段抛物插值．
选取跟节点 x 最近的三个节点xi-1,xi, xi+1进行二次插值，即在区间[xi-1, xi+1]，取
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例1设 -1 ≤ x ≤1
1)将[-1，1]10 等份，用分段线性插值计算 f(-).
2)将[-1，1] n 等份，用分段线性插值近似计算,问
如何选择步长 h 可使近似计算误差 R <10-4?
所以 f(-) ≈ (-)=
解 (1)插值节点为 xi=-1+ i/5 ( i=0,1,…,10),h=1/5
因为 -∈[-1,-], 取此区间为线性插值区间，
其上的插值函数为
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(2)插值节点 xi=-1+ih (i=0,1,…,n),h=(b-a)/2=2/n
由分段线性插值的余项估计：
| f(x)- (x)|=|R(x)| ≤mh2/8
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§ Hermite插值简介
前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在结点取相同值, Lagrange型插值条件
使之满足给定的Hermite型插值条件
然而,实际许多问题还常常要求两曲线进一步有共同切线, 插值条件为:求次数多项式 ,
两曲线在交点处相切(二重节点).
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求

其中
，且
——插值基函数表示法（）
（）
（）
易验证：满足（）和（）的多项式（）一定满足（）,故即为所求.
所以主要是求插值基函数
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则有
得公式（）
求插值基函数 ,可借用Lagrange插值基函数
设
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