文档介绍：柯西不等式
　　
，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：
证明：左边³
,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：
证明：左边=
　　　　 ³
　　　　 =
　　　　 =
证明
   (1)(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd;
   (2)若a、b、c∈R+，则
  
   (3)若a、b、c∈R
+，且ab+bc+cd=1,则.
   (4).
   证明
   (1)∵(ab+cd)(ac+bd)
  
等式当且仅当且a=d 即b=c,a=d 时成立.
   (2)
  
       =(1+1+1)2=9
当且仅当a=b=c时，等式成立.
   (3)注意到
   (a2+b2+c2)2=(a2+b2+c2)·(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ca)2=1 ,
   ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥1+2=3 ,
又由a+b+c＞0,故
   ,
当且仅当时，等式成立.
   (4)注意到
  
柯西不等式(3)
：若，
则 .
当且仅当时, 等号成立.
变式10. 若，则或；
变式20. 若，则；
变式30.（三角形不等式）设为任意实数，则：

3. 一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，(1,2,…,)，
则： .
当且仅当时, 等号成立.
(若时，约定，1,2,…,).
变式10. 设则： .
当且仅当时, 等号成立.
变式20. 设则：.
当且仅当时,等号成立.
变式30. (积分形式)设与都在可积，
则，
当且仅当时,等号成立.

如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！
☆ 柯西不等式的应用：
例1. 已知实数满足， . 试求的最值

例2 在实数集内解方程
例3 设是三角形内的一点，是到三边的距离，是外接圆
的半径，证明

例4 (证明恒等式) 已知求证：。
例5 (证明不等式)设
求证:
§(3)
1、已知，求证：

2、已知是不全相等的正数，求证：

3、已知.

4、设求证：

5、已知实数满足, 求的取值范围.

6、已知且求证：

7、已知正数满足证明

8、解方程组

9、若n是不小于2的正整数，试证：。

参考答案:
一般形式的柯西不等式：
设为大于1的自然数，(1,2,…,)，则：，
其中等号当且仅当时成立(当时，约定，1,2,…,).
等号成立当且仅当柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的
不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高