文档介绍：课题: 反函数(二) 教学目的: ⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 教学重点: 互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明, 定理的应用; 教学难点: 定理的证明(但教材不作要求) . 授课类型: 新授课课时安排: 1 课时教具:多媒体、实物投影仪教学过程: 一、复习引入: 1 .反函数的定义; 2 .互为反函数的两个函数)(xfy?与)( 1xfy ??间的关系: ---- 定义域、值域相反,对应法则互逆; 3 .反函数的求法: 一解、二换、三注明 4. 在平面直角坐标系中, ①点 A (x,y) 关于 x 轴的对称点'A ( x,-y );②点 A (x,y) 关于 y 轴的对称点'A ( -x,y );③点 A (x,y) 关于原点的对称点'A ( -x,-y );④点 A (x,y) 关于 y =x 轴的对称点'A ( ?,? ); 5. 我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系)(xfy?)(xfy? P M' M )(23Rx xy???)(3 2Rx xy???)(Rxxy??)(Rxxy??(在定义域、值域和对应法则方面) . 函数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量 x 与因变量 y 之间的关系. 因此, 互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系,今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.①)(23Rxxy???的反函数是)(3 2Rx xy???②)( 3Rxxy??的反函数是)( 3Rxxy??二、讲解新课: 1 .探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像,归纳结论:函数)(xfy?的图象和它的反函数)( 1xfy ??的图象关于直线 xy?对称. 2 .证明结论(不要求掌握,根据实际情况处理) 证明:设 M(a,b) 是)(xfy?的图象上的任意一点, 则当 x=a 时, )(xf 有唯一的值 baf?)( .∵)(xfy?有反函数)( 1xfy ??, ∴当 x=b 时, )( 1xf ?有唯一的值 abf??)( 1, 即点'M (b,a) 在反函数)( 1xfy ??的图象上. 若 a=b ,则 M,'M 是直线 y=x 上的同一个点, 它们关于直线 y=x a? b ,在直线 y=x 上任意取一点 P (c,c) ,连结 PM , P'M , M'M 由两点间的距离公式得: PM= 22)()(cbca???,P'M = 22)()(cacb???, ∴ PM=P 'M .∴直线 y=x 是线段 M'M 的垂直平分线, ∴点 M,'M 关于直线 y=x 对称.∵点 M是 y=f(x) 的图象上的任意一点, ∴)(xfy?图象上任意一点关于直线 y= x 的对称点都在它的反函数)( 1xfy ??的图象上,由)(xfy?与)( 1xfy ??互为反函数可知,函数)( 1xfy ??图象上任意一点关于直线 y=x 的对称点也都在它的反函数)(xfy?的图象上, ∴函数)(xfy?与)( 1xfy ??的图象关于直线 y=x 对称. 逆命题成立:若两个函数的图象关于直线 y=x 对称, .应用: ⑴利用对称性作反函数的图像若)(xfy?的图象已作出或比较好作,