文档介绍：稳定性模型
对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间
充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是
否稳定.
不求解微分方程，而是用微分方程稳定性
理论研究平衡状态的稳定性.
差分方程的稳定性与微分方程稳定性理论相似.
捕鱼业的持续收获
再生资源（渔业、林业等）与
非再生资源（矿业等）.
再生资源应适度开发——在持续稳产
前提下实现最大产量或最佳效益.
问题及分析
在捕捞量稳定的条件下，如何控制
捕捞使产量最大或效益最佳?
如果使捕捞量等于自然增长量，渔场
鱼量将保持不变，则捕捞量稳定.
背景
产量模型
假设
无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律.
单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.
建模
捕捞情况下渔场鱼量满足
不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件.
r~固有增长率, N~最大鱼量
h(x)=Ex, E~捕捞强度
x(t) ~ 渔场鱼量
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
一阶非线性自治(右端不含t)方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有
称x0是方程(1)的稳定平衡点.
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
(1)的近似线性方程
产量模型
平衡点
稳定性判断
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
E~捕捞强度
r~固有增长率
产量模型
在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大.
图解法
P的横坐标 x0~平衡点
y=rx
h
P
x0
y
0
y=h(x)=Ex
x
N
y=f(x)
P的纵坐标 h~产量
产量最大
f 与h交点P
hm
x0*=N/2
P*
y=E*x
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型
假设
鱼销售价格p
单位捕捞强度费用c
单位时间利润
在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.
稳定平衡点
求E使R(E)最大
渔场鱼量
收入 T = ph(x) = pEx
支出 S = cE
Es
S(E)
T(E)
0
r
E
捕捞过度
封闭式捕捞追求利润R(E)最大
开放式捕捞只求利润R(E) > 0
R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER
临界强度下的渔场鱼量
ER
E*
令=0
xs由成本—价格比决定
捕捞过度
~ 临界强度
捕捞过度
T(E)
0
r
E
S(E)
Es2
Es1
S(E)
pNE
E*
pNE/2
收入
支出
利润
临界强度Es
=0
经济学捕捞过度
生态学捕捞过度
捕鱼业的持续收获
在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模.
用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.