文档介绍：所以
因
即
简谐振动的表达式为
四、简谐振动的能量
以弹簧振子为例
x = A cos ( t+)
v = A sin ( t+)
由上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。
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§72 简谐振动的叠加——10
总能量
因为
所以
尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化, 但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。
由公式
得
此式表明，在平衡位置处，x = 0, 速度为最大；在最大位移处，x = A, 速度为零。
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§72 简谐振动的叠加——10
例3 长为l 的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬挂质量为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点O，是系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一小角度，由静止释放, 物体就在平衡位置附近往返摆动, 称为单摆。证明单摆的振动是简谐振动，并分析其能量。
h
O
A
θ
mgsinθ
mgcosθ
解 物体受 和 两个力作用
根据牛顿第二定律得
当偏角 很小时， sin
所以
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§72 简谐振动的叠加——10
即
其中
解微分方程得
= 0 cos ( t+)
说明了在偏角θ很小时, 单摆的振动是简谐振动。
单摆系统的机械能包括两部分：
动能
势能 Ep = m g h = m g l (1—cos )
将cos 展开
因为 很小，上式只取前两项，
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§72 简谐振动的叠加——10
所以
因为
所以
上式表示, 尽管在简谐振动过程中，单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。
总能量
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)
)
φ2
A1
A2
φ1
x
y
O
x2
x1
§7-2 简谐振动的叠加
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成
设有两个同频率的谐振动
合振动
由矢量图得
（仍为同频率谐振动）
x
φ
)
A
而
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§72 简谐振动的叠加——10
讨论：1.
2.
合振幅减小，振动减弱
合振幅最大，振动加强
3.
一般情况下 为任意值
A
v
2
A
v
1
A
v
2
A
v
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§72 简谐振动的叠加——10
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成
两谐振动分别为
合振动
合振动不再是谐振动，
而是一种复杂振动
矢量图解法（如图）
由矢量图得合振动的振幅为
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由上式可见，由于两个分振动频率的微小差异 而产生的合振动振幅时强时弱的现象称为拍现象。 合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。
拍频为
三角函数法
设两个简谐振动的振幅和初相位相同
合振动为
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拍频的振幅为
振幅的周期为
拍频为
拍的振动曲线如右图
三、两个互相垂直的简谐振动的合成
两简谐振动为
（1）
（2）
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§72 简谐振动的叠加——10