文档介绍：平面向量的
基本定理
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平面向量的分解
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问题1：在物理中，我们学****了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？
提示：可以．
问题2：如图，以a为平行四边形的一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？
提示：不确定．
新课讲解
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平面向量的分解
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问题3：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？
提示：可以，根据是数乘向量和平行四边形法则．
问题4：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
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平面向量的分解
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一、平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a，
实数λ、u，使a＝ .
(2)基底： 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.
不共线
任意
有且只有一对
不共线
所有
λe1＋ue2
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平面向量的分解
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1. 如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，判断下列说法是否正确．
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
分析思考
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平面向量的分解
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解：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
②不正确，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
③不正确，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
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平面向量的分解
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2．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列
四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
解析：∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2
不能作为平面的基底．
答案：B
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平面向量的分解
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问题1：两条直线存在夹角，那么两个向量也有夹角吗？
提示：有． 
问题2：两条直线在什么情况下互相垂直？
提示：所成的角为90°时．
二、平面向量的夹角
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平面向量的分解
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非零向量
∠AOB
0°≤θ≤180°
同向
反向
90°
a⊥b
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平面向量的分解
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1．关于平面向量的基底，下面三种说法正确吗？
①一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
③基底中的向量一定不是零向量．
提示：平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底，故①不正确，②③正确．
提示：不对，是π－B.
分析思考
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平面向量的分解
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