文档介绍：例如, 某零件的真实长度为a, 现在用甲、乙
两台仪器各测量10次, 并将测量结果 X 用坐标上的点表示如图：
问: 哪台仪器的测量效果好一些？
甲仪器测量结果
乙仪器测量结果
较好
因为乙仪器的测量结果更集中在均值附近.
测量结果的
均值都是 a
方差和协方差
2021/1/25
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为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量
随机变量在其中心 (即均值) 附近取值的离散程度(或集中程度). 这个数字特征就是: 方差.
再如: 考察某车床加工轴承的质量时, 若
最关键的指标为长度, 则不但要注意轴承的平均
长度, 同时还要考虑轴承长度与平均长度的偏离
程度 (即加工的精度); 等等.
我们该用怎样的量去度量这种偏离程度呢?
X − E(X) ?
E[ X − E(X) ] ?
E[ | X − E(X) | ] ?
E{ [ X − E(X) ]2 }
方差和协方差
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一、方差( variance )的定义
随机变量 X 的平方偏差 [ X − E(X) ]2 的均值
记作
或 Var ( X ) ,
叫做 X 的方差.
而
记作
叫做 X 的标准差
或均方差.
方差刻划了随机变量取值的离散程度:
若 X 的取值比较集中, 则方差较小；
若 X 的取值比较分散, 则方差较大 .
方差和协方差
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如: 据以往记录, 甲乙两射手命中环数 X、Y 的分布律为
X 6 7 8 9 10
P
Y 6 7 8 9 10
P
及
可以算出:
两人命中环数的平均水平相同, 从中看不出两人射击技术的
高低;
但
说明甲的命中环数比乙的更集中,
即甲的射击技术比乙的稳定.
方差和协方差
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二. 方差的简化计算公式
即: 方差等于 平方的期望 减 期望的平方.
证明:
方差和协方差
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例: 设 X 的概率密度为
且 D( X ) = 1/18, 求 a, b 及 E( X ).
而
解:
由归一性得
故
解得 b = 0, a = 2, E( X ) = 2/3
或b = 2, a = −2, E( X ) = 1/3 .
方差和协方差
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例:
设 (X, Y) 的概率密度为
试求 D( X ), D( Y ) .
解:
x
y
0
1
y=x
方差和协方差
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三. 常见分布的期望与方差
(3)
则
(2)
则
(1)
则
(4)
则
(5)
则
方差和协方差
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四. 方差的性质
(1) 对任意常数 k 与 c 有: D( k X + c ) = k 2 D(X).
(2) 设 X 与 Y 相互独立, 则
进一步, 若 X1 ,… , Xn 相互独立, 则对任意常数
c1 ,…, cn 有:
D(X+Y) = D(X) + D(Y), D(X−Y) = D(X) + D(Y).
D( c1 X1+ … + cn Xn ) = c12 D( X1 ) + … + cn2 D( Xn ).
(3) D(X) = 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,
即 P{X = C } = 1 .
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例:
则
解:
X 表示 n 重伯努利试验中 “成功”的次数,
p为每次试验成功的概率,
则 X ~ B(n, p);
引入
1, 若第 i 次试验成功,
0, 若第 i 次试验失败.
i =1, 2, …, n,
则 X1 , X2 ,…, Xn 相互独立, 且
而 Xi 的分布律为
Xi 0 1
P q p
故 E( Xi ) = p ,
E( Xi2 ) = p ,
D( Xi ) = E( Xi2 ) −[E( Xi )]2 = p q ,
从而
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